수학 공식 | 고등학교 > 원과 직선의 위치 관계

원과 직선의 위치 관계

원과 직선의 위치 관계는 교점의 개수에 따라 다음 세 가지 경우가 있다.

  1. 서로 다른 두 점에서 만난다.
  2. 한 점에서 만난다.
  3. 만나지 않는다.

원과 직선이 한 점에서 만나는 것을 `접한다’라고 한다.

원과 직선의 위치 관계의 판별 1

직선의 방정식을 원의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식을 $ D $라 할 때

  1. $ D>0 \ \ \Longleftrightarrow \ $ 서로 다른 두 점에서 만난다.
  2. $ D=0 \ \ \Longleftrightarrow \ $ 접한다.
  3. $ D<0 \ \ \Longleftrightarrow \ $ 만나지 않는다.

원 $ x^2 + y^2 = 2 $와 직선 $ y = x+n $에 대하여 다음 물음에 답하여라.

  1. 원과 직선을 두 점에서 만나게 하는 $ n $의 값의 범위를 구하여라.
  2. 원과 직선을 접하게 하는 $ n $의 값을 구하여라.
  3. 원과 직선을 만나지 않게 하는 $ n $의 값의 범위를 구하여라.

$ y=x+n $을 $ x^2 + y^2 = 2 $에 대입하고 정리하면

\begin{gather*}
2x^2 + 2nx + n^2 – 2 = 0
\end{gather*}

이 방정식의 판별식 $ D $에 대하여

\begin{gather*}
D/4 = – n^2 + 4
\end{gather*}

  1. $ D > 0 \ \ \ \therefore \ \ -2 < n < 2 $
  2. $ D = 0 \ \ \ \therefore \ \ n = -2 \ \textrm{ 또는 } \ n = 2 $
  3. $ D < 0 \ \ \ \therefore \ \ n < -2 \ \textrm{ 또는 } \ n > 2 $

원과 직선의 위치 관계의 판별 2

원의 중심과 직선 사이의 거리가 $ d $, 원의 반지름의 길이가 $ r $일 때

  1. $ d<r \ \ \Longleftrightarrow \ $ 서로 다른 두 점에서 만난다.
  2. $ d=r \ \ \Longleftrightarrow \ $ 접한다.
  3. $ d>r \ \ \Longleftrightarrow \ $ 만나지 않는다.

원 $ x^2 + y^2 = 2 $와 직선 $ y = x+n $에 대하여 다음 물음에 답하여라.

  1. 원과 직선을 두 점에서 만나게 하는 $ n $의 값의 범위를 구하여라.
  2. 원과 직선을 접하게 하는 $ n $의 값을 구하여라.
  3. 원과 직선을 만나지 않게 하는 $ n $의 값의 범위를 구하여라.

원의 중심과 직선 $ x-y+n=0 $ 사이의 거리 $ d $는

\begin{gather*}
d = \frac{|n|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|n|}{\sqrt{2}}
\end{gather*}

  1. $ d < \sqrt{2} \ \ \ \therefore \ \ -2 < n < 2 $
  2. $ d = \sqrt{2} \ \ \ \therefore \ \ n = -2 \ \textrm{ 또는 } \ n = 2 $
  3. $ d > \sqrt{2} \ \ \ \therefore \ \ n < -2 \ \textrm{ 또는 } \ n > 2 $