수학 공식 | 고등학교 > 수열의 극한에 대한 기본 성질

수열의 극한에 대한 기본 성질

두 수열 $ \{ a_n \} $과 $ \{ b_n \} $이 수렴하고, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha $, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta $일 때

  1. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} k a_n = k \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = k\alpha $ (단, $ k $는 상수)
  2. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} (a_n \pm b_n) = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \pm \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \alpha \pm \beta $
  3. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n b_n = \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \alpha\beta $
  4. $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{b_n} = \dfrac{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n}{\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n} = \frac{\alpha}{\beta} $ (단, $ b_n \neq 0 $, $ \beta \neq 0 $)
  • 수열의 극한에 대한 기본 성질은 수렴하는 수열에 대하여 성립한다는 것에 주의한다.

다음 극한값을 구하여라.

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} 4 \left( 2 – \frac{1}{n} \right)
\end{gather*}

\begin{align*}
\lim_{n \to \infty} 4 \left( 2 – \frac{1}{n} \right) & = 4 \lim_{n \to \infty} \left( 2 – \frac{1}{n} \right) = 4 \left( \lim_{n \to \infty} 2 – \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \right) \\
& = 4 ( 2 – 0 ) = 8
\end{align*}

수열의 극한값의 대소 관계

두 수열 $ \{ a_n \} $과 $ \{ b_n \} $이 수렴하고, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \alpha $, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = \beta $일 때

  1. 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \leq b_n $이면 $ \alpha \leq \beta $이다.
  2. 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < b_n $이면 $ \alpha \leq \beta $이다.
  3. 수열 $ \{ c_n \} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n \leq c_n \leq b_n $을 만족시키고 $ \alpha = \beta $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \alpha $이다.
  4. 수열 $ \{ c_n \} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < c_n < b_n $을 만족시키고 $ \alpha = \beta $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} c_n = \alpha $이다.
  • \item ‘모든 자연수 $ n $에 대하여 $ a_n < b_n $이면 $ \alpha < \beta $이다.’는 거짓이다. 예를 들어
    \begin{gather*}
    a_n = 1 – \frac{1}{n}, \ \ b_n = 1 + \frac{1}{n}
    \end{gather*}이면 $ a_n < b_n $이지만 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 1 $이다.

수열 $ \{ a_n \} $이 모든 자연수 $ n $에 대하여

\begin{gather*}
\frac{2}{n^2 + 2} \leq a_n \leq \frac{2}{n^2 + 1}
\end{gather*}

을 만족시킬 때, $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} n^2 a_n $의 값을 구하여라.

각 변에 $ n^2 $을 곱하면

\begin{gather*}
\frac{2n^2}{n^2 + 2} \leq n^2 a_n \leq \frac{2n^2}{n^2 + 1}
\end{gather*}

이고

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2}{n^2 + 2} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n^2}{n^2 + 1} = 2
\end{gather*}

이므로

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} n^2 a_n = 2
\end{gather*}

이다.