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등비수열의 극한
등비수열 $ \left\{ r^n \right\} $의 수렴과 발산은 공비 $ r $의 값에 따라 결정된다.
- $ |r|>1 $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} r^n $은 발산
- $ |r|<1 $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} r^n = 0 $
- $ r=1 $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} r^n = 1 $
- $ r=-1 $이면 $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} r^n $은 발산
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} r^n $이 수렴할 조건은 $ -1 < r \leq 1 $이다.
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} r^n = 0 $일 조건은 $ -1 < r < 1 $이다.
- $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} ar^{n-1} $이 수렴할 조건은 $ a=0 $ 또는 $ -1 < r \leq 1 $이다.
수열 $ \left\{ \dfrac{1-r^n}{1+r^n} \right\} $의 수렴, 발산을 조사하여라. (단, $ r \neq -1 $)
$ |r| > 1 $일 때 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} |r^n| = \infty $이므로
\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} \dfrac{1-r^n}{1+r^n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{1}{r^n}-1}{\dfrac{1}{r^n}+1} = \frac{0-1}{0+1} = -1
\end{gather*}
$ |r| < 1 $일 때 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0 $이므로
\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} \dfrac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{1-0}{1+0} = 1
\end{gather*}
$ r=1 $일 때 $ \displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 1 $이므로
\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} \dfrac{1-r^n}{1+r^n} = \frac{1-1}{1+1} = 0
\end{gather*}
2018/04/17 20:45수학 공식
