수학 공식 | 고등학교 > 복소수의 뜻과 사칙연산
허수단위
제곱하여 $ -1 $이 되는 수를 기호 $ i $로 나타내고 $ i $를 허수단위라 한다.
\begin{gather*}
i^2 = -1, \ \ i = \sqrt{-1}
\end{gather*}
복소수
임의의 실수 $ a $, $ b $에 대하여 $ a+bi $의 꼴로 나타내어지는 수를 복소수라 한다. 이 때 $ a $를 실수부분, $ b $를 허수부분이라고 한다.
\begin{align*}
a+bi \ \ \begin{cases}
\ \ b=0 & \textrm{실수} \\
\ \ b \neq 0 & \textrm{허수} \ \ \begin{cases}
\ \ a=0 & \textrm{순허수} \\
\ \ a \neq 0 & \textrm{순허수가 아닌 허수}
\end{cases}
\end{cases}
\end{align*}
- 제곱하여 실수가 되는 수는 실수와 순허수이다.
- 제곱하여 음이 아닌 실수가 되는 수는 실수이다.
- 제곱하여 음수가 되는 수는 순허수이다.
켤레복소수
복소수 $ a+bi $($ a $, $ b $는 실수)에 대하여 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 $ a-bi $를 $ a+bi $의 켤레복소수라고 하고, 기호로 $ \overline{a+bi} $와 같이 나타낸다.
\begin{gather*}
\overline{a+bi} = a-bi
\end{gather*}
복소수가 서로 같을 조건
두 복소수 $ a+bi $, $ c+di $ ($ a $, $ b $, $ c $, $ d $는 실수)에 대하여
- $ a+bi=0 $이면 $ a=0 $, $ b=0 $
- $ a+bi = c+di $이면 $ a=c $, $ b=d $
허수단위 $ i $의 차수가 $ 2 $차 이상일 때는 차수를 $ 1 $차 이하로 바꾼 후 복소수가 서로 같을 조건을 사용한다. 예를 들어
\begin{gather*}
(a-1)i^2 + (b-1)i + c-1 = 0
\end{gather*}
일 때, $ a=1 $, $ b=1 $, $ c=1 $이라 하면 안된다.
\begin{gather*}
(b-1)i - a + c= 0
\end{gather*}
이므로 $ b=1 $, $ a=c $이다.
복소수의 사칙연산
두 복소수 $ a+bi $, $ c+di $ ($ a $, $ b $, $ c $, $ d $는 실수)에 대하여
- $ (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i $
- $ (a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i $
- $ (a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i $
- $ \dfrac{a+bi}{c+di} = \dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \dfrac{ac+bd}{c^2+d^2} + \dfrac{bc-ad}{c^2+d^2} i $
- 허수단위 $ i $를 문자처럼 생각하고, $ i^2 = -1 $로 바꾼다.
복소수의 덧셈과 곱셈에 대한 성질
세 복소수 $ z_1 $, $ z_2 $, $ z_3 $에 대하여
- 교환법칙
$ z_1 + z_2 = z_2 + z_1, \ \ z_1 z_2 = z_2 z_1 $ - 결합법칙
$ ( z_1 + z_2 ) + z_3 = z_1 + ( z_2 + z_3 ), \ \ (z_1z_2)z_3 = z_1(z_2z_3) $ - 분배법칙
$ z_1 (z_2 + z_3) = z_1 z_2 + z_1 z_3, \ \ (z_1 + z_2 ) z_3 = z_1z_3 + z_2z_3 $
$ i $의 거듭제곱
$ k $가 음이 아닌 정수일 때
\begin{gather*}
i^{4k} = 1, \ \ i^{4k+1} = i, \ \ i^{4k+2} = -1, \ \ i^{4k+3} = -i
\end{gather*}
켤레복소수의 성질
- $ \overline{\left( \overline{z_1} \right)} = z_1 $
- $ z_1 + \overline{z_1} $과 $ z_1 \overline{z_1} $은 실수이다.
- $ \overline{z_1} =z_1 $이면 $ z_1 $은 실수이다.
- $ \overline{z_1} = -z_1 $이면 $ z_1 $은 순허수 또는 0이다.
- $ \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2} $, $ \overline{z_1 - z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2} $
- $ \overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2} $, $ \overline{\left( \dfrac{z_1}{z_2} \right)} = \dfrac{ \ \overline{z_1} \ }{\overline{z_2}} $ (단, $ z_2 \neq 0 $)
- 복소수 $ z $와 $ \overline{z} $의 성질을 묻는 문제가 나오면 $ z=a+bi $, $ \overline{z} = a-bi $ ($ a $, $ b $는 실수)로 놓고 푼다.
음수의 제곱근
$ a>0 $일 때
- $ \sqrt{-a} = \sqrt{a}i $
- $ -a $의 제곱근 : $ \sqrt{a}i, -\sqrt{a}i $
- $ a $가 음수이어도 $ a $의 제곱근은 $ \pm \sqrt{a} $이다.
- $ a $가 음수이어도 $ (\pm\sqrt{a})^2 = a $이다.
음수의 제곱근의 성질
- $ a<0 $, $ b<0 $이면 $ \sqrt{a} \sqrt{b} = - \sqrt{ab} $
- $ a>0 $, $ b<0 $이면 $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = - \sqrt{\dfrac{a}{b}} $
- $ \sqrt{a} \sqrt{b} = - \sqrt{ab} $이면 $ a=0 $ 또는 $ b=0 $ 또는 $ a<0 $, $ b<0 $
- $ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = - \sqrt{\dfrac{a}{b}} \ (b \neq 0) $이면 $ a=0 $ 또는 $ a>0 $, $ b<0 $
