수학 공식 | 고등학교 > 로그의 뜻과 성질

로그의 정의

$ a>0 $, $ a \neq 1 $일 때, 양수 $ N $에 대하여 $ a^x=N $을 만족하는 실수 $ x $는 하나 존재한다. 이 실수 $ x $를

\begin{gather*}
x=\log_a N
\end{gather*}

으로 나타내고, $ a $를 밑으로 하는 $ N $의 로그라고 한다. 이 때 $ N $을 $ \log_a N $의 진수라고 한다.

  • $ \log $는 logarithm을 줄인 말로 그리스어인 비(logos)와 수(arithmos)가 결합된 것이다.

다음 등식을 만족시키는 $ x $의 값을 구하여라.

  1. $ \log_2 x = 4 $
  2. $ \log_x 1000 = 3 $
  1. $ x = 2^4 = 16 $
  2. $ x^3 = 1000 \ \ \ \therefore \ \ x=10 $

$ \boldsymbol{ \log_a N } $이 정의될 조건

  1. 밑은 $ 1 $이 아닌 양수 : $ a > 0, \ a \neq 1 $
  2. 진수는 양수 : $ N > 0 $

$ \log_{x-2} (8-2x) $가 정의되도록 하는 실수 $ x $의 값의 범위를 구하여라.

$ x-2 > 0, \ \ x-2 \neq 1, \ \ 8-2x > 0 $

$ { 2 < x < 3 } $ 또는 $ { 3 < x < 4 } $

로그의 성질 1

  1. $ \log_a 1 = 0, \ \log_a a = 1 $
  2. $ \log_a xy = \log_a x + \log_a y $
  3. $ \log_a \dfrac{x}{y} = \log_a x – \log_a y $
  4. $ \log_a x^n = n \log_a x $

로그의 밑의 변환 공식

$ a $, $ b $, $ c $는 양수이고 $ a \neq 1 $, $ c \neq 1 $일 때

\begin{gather*}
\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}
\end{gather*}

  • $ \displaystyle \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} = \frac{1}{\dfrac{\log_c a}{\log_c b}} = \frac{1}{\log_b a} $

로그의 성질 2

  1. $ \log_{a^m} x^n = \dfrac{n}{m} \log_a x $
  2. $ a^{\log_b c} = c^{\log_b a} $