수학 공식 | 고등학교 > 대칭이동

대칭이동

도형을 주어진 직선 또는 점에 대하여 대칭인 도형으로 이동하는 것을 대칭이동이라고 한다.

점의 대칭이동

좌표평면 위의 점 $ (x, \ y) $를

  1. $ x $축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $ (x, \ -y) $
  2. $ y $축에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $ (-x, \ y) $
  3. 원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $ (-x, \ -y) $
  4. 직선 $ y=x $에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $ (y, \ x) $

도형의 대칭이동

방정식 $ f(x, \ y)=0 $이 나타내는 도형을

  1. $ x $축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $ f(x, \ -y)=0 $
  2. $ y $축에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $ f(-x, \ y)=0 $
  3. 원점에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $ f(-x, \ -y)=0 $
  4. 직선 $ y=x $에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $ f(y, \ x)=0 $

⑴의 증명

좌표평면에서 방정식 $ f(x, \ y)=0 $이 나타내는 도형을 $ F $, 도형 $ F $를 $ x $축에 대하여 대칭이동한 도형을 $ F’ $이라 하자.

도형 $ f(x, \ y)=0 $ 위의 점을 $ P(m, \ n) $이라 하면

\begin{gather*}
f(m, \ n)=0
\end{gather*}

점 $ P $를 $ x $축에 대하여 대칭이동한 점을 $ P'(x, \ y) $라 하면

\begin{gather*}
x = m, \ \ y = -n \ \ \ \therefore \ \ m = x, \ \ n = -y
\end{gather*}

$ f(m, \ n)=0 $에 대입하면

\begin{gather*}
f(x, \ -y) = 0
\end{gather*}

직선 $ y = 2x + 1 $을 다음에 대하여 대칭이동한 직선의 방정식을 구하여라.

  1. $ x $축
  2. $ y $축
  3. 원점
  4. 직선 $ y=x $
  1. $ y $ 대신에 $ -y $를 대입하면
    $ -y = 2x+1 \ \ \ \therefore \ \ y = -2x-1 $
  2. $ x $ 대신에 $ -x $를 대입하면
    $ y = 2(-x)+1 \ \ \ \therefore \ \ y = -2x+1 $
  3. $ x $ 대신에 $ -x $, $ y $ 대신에 $ -y $를 대입하면
    $ -y = 2(-x)+1 \ \ \ \therefore \ \ y = 2x-1 $
  4. $ x $ 대신에 $ y $, $ y $ 대신에 $ x $를 대입하면
    $ x = 2y+1 \ \ \ \therefore \ \ y = \dfrac{1}{2} x – \dfrac{1}{2} $

점에 대한 대칭이동

점 $ P $를 점 $ A $에 대하여 대칭이동한 점을 $ P’ $이라 하면 점 $ A $는 점 $ P $와 점 $ P’ $의 중점이다.

좌표평면 위의 점 $ P(-2, \ 6) $을 점 $ (3, \ 5) $에 대하여 대칭이동한 점 $ P’ $의 좌표를 구하여라.

점 $ P’ $의 좌표를 $ (a, \ b) $라 하면

\begin{gather*}
\frac{a + (-2)}{2} = 3, \ \ \frac{b + 6}{2} = 5 \ \ \ \therefore \ \ a = 8, \ \ b = 4
\end{gather*}

따라서 $ P’ $의 좌표는 $ (8, \ 4) $

직선에 대한 대칭이동

점 $ P $를 직선 $ l $에 대하여 대칭이동한 점을 $ P’ $이라 하면

  1. 점 $ P $와 점 $ P’ $의 중점이 직선 $ l $ 위에 있다.
  2. 직선 $ PP’ $이 직선 $ l $과 수직이다.

좌표평면 위의 점 $ {A}(2, \ 1) $을 직선 $ y=2x $에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 구하여라.

대칭이동한 점의 좌표를 $ {B}(a, \ b) $라고 하자.

두 점 $ A $와 $ B $를 잇는 직선은 $ y=2x $와 수직으로 만나므로, 두 직선의 기울기의 곱은 $ -1 $이다.

\begin{gather*}
\frac{b-1}{a-2} \cdot 2 = -1 \ \ \therefore \ a + 2b = 4
\end{gather*}

두 점 $ {A} $와 $ {B} $의 중점은 $ y=2x $ 위에 있으므로

\begin{gather*}
\frac{b+1}{2} = 2 \cdot \frac{a+2}{2} \ \ \therefore \ 2a – b = -3
\end{gather*}

$ a + 2b = 4 $와 $ 2a – b = -3 $을 연립하여 $ a $와 $ b $의 값을 구하면

\begin{gather*}
a = -\frac{2}{5}, \ b = \frac{11}{5}
\end{gather*}

따라서 대칭이동한 점의 좌표는

\begin{gather*}
\left( -\frac{2}{5}, \ \frac{11}{5} \right)
\end{gather*}

잡동사니

  • 좌표평면 위의 점 $ (x, \ y) $를 $ y=-x $에 대하여 대칭이동한 점의 좌표는 $ (-y, \ -x) $
  • 방정식 $ f(x, \ y)=0 $이 나타내는 도형을 $ y=-x $에 대하여 대칭이동한 도형의 방정식은 $ f( -y, \ -x)=0 $