수학 공식 | 고등학교 > 도함수와 미분법

도함수의 정의

함수 $ y=f(x) $가 정의역에 속하는 모든 $ x $의 값에서 미분가능할 때, 정의역에 속하는 임의의 원소 $ x $에 미분계수 $ f'(x) $를 대응시키는 새로운 함수를 얻을 수 있다.

\begin{gather*}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{gather*}

이 함수를 함수 $ y=f(x) $의 도함수라 하고, 기호로

\begin{gather*}
f'(x), \ \ y’, \ \ \frac{dy}{dx}, \ \ \frac{d}{dx}f(x)
\end{gather*}

와 같이 나타낸다.

미분법

함수 $ f(x) $의 도함수 $ f'(x) $를 구하는 것을 함수 $ f(x) $를 $ x $에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을 미분법이라 한다.

함수 $ \boldsymbol{ y = x^n } $와 상수함수의 도함수

  1. $ y = x^n $ ($ n $은 양의 정수)이면 $ y’ = nx^{n-1} $
  2. $ y=c $ ($ c $는 상수)이면 $ y’=0 $

함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법

두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 미분가능할 때

  1. $ y = cf(x) $ ($ c $는 상수)이면 $ y’ = c f'(x) $
  2. $ y = f(x) + g(x) $이면 $ y’ = f'(x) + g'(x) $
  3. $ y = f(x) – g(x) $이면 $ y’ = f'(x) – g'(x) $
  4. $ y = f(x)g(x) $이면 $ y’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $