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이차방정식의 근의 공식

이차방정식의 해를 구하는 가장 쉬운 방법은 인수분해하는 거에요. 그런데 계수에 따라서 인수분해가 어려운 경우가 있어요.

그럴 땐 완전제곱식을 이용해서 해를 구하는데, 그 과정이 꽤 길어요. 그래서 공식을 만들어서 적용하는데, 그 공식을 이차방정식의 근의 공식이라고 해요.

$ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $에서 근의 공식을 만들어볼게요. 이차방정식이라고 하면 아무런 말이 없어도 이차항의 계수가 $ 0 $이 아니라는 것은 알고 있죠?

근의 공식의 유도 과정은 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이와 같아요.

\begin{gather*}
ax^2 + bx + c = 0
\end{gather*}

에서 양변을 $ a $로 나눕니다.

\begin{gather*}
x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0
\end{gather*}

상수항을 우변으로 이항합니다.

\begin{gather*}
x^2 + \frac{b}{a} x = – \frac{c}{a}
\end{gather*}

좌변이 완전제곱식이 되도록 양변에 $ \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 $을 더합니다.

\begin{gather*}
x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2 = – \frac{c}{a} + \left( \dfrac{b}{2a} \right)^2
\end{gather*}

양변을 정리합니다.

\begin{gather*}
\left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}
\end{gather*}

제곱근을 구합니다.

\begin{gather*}
x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

좌변의 상수항을 이항하여 해를 구합니다.

\begin{gather*}
x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

만약 $ b = 2b’ $이라면

\begin{gather*}
x = \frac{- 2b’ \pm \sqrt{(2b’)^2 – 4ac}}{2a} = \frac{- 2b’ \pm 2 \sqrt{b’^2 – ac}}{2a}
\end{gather*}

가 되고, 이를 정리하면

\begin{gather*}
x = \frac{- b’ \pm \sqrt{b’^2 – ac}}{a}
\end{gather*}

가 됩니다. 이를 짝수 공식이라고 해요. 짝수 공식을 외우는 게 귀찮을 수 있지만 계산이 간단해지므로 알고 있는 게 좋아요.

이차방정식의 근의 공식

$ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 해는

\begin{gather*}
x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

이차방정식의 근의 짝수 공식

$ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2 + 2b’x + c = 0 $의 해는

\begin{gather*}
x = \frac{- b’ \pm \sqrt{b’^2 – ac}}{a}
\end{gather*}

참고

근을 구하는 게 아니고 근의 개수만 알고 싶다면 판별식을 이용합니다.