수학 강좌 | 중학교 > 이차방정식 > 이차방정식의 근의 개수와 판별식

$ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 근은

\begin{gather*}
x = \frac{- b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

에요. 근호 안에 $ b^2 – 4ac $가 있는데, 그 값의 부호에 따라서 근의 개수가 달라져요.

만약 $ b^2 – 4ac > 0 $이라면

\begin{gather*}
x = \frac{- b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \ \ \textrm{또는} \ \ x = \frac{- b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

두 개의 근을 가져요. 만약 $ b^2 – 4ac = 0 $이라면

\begin{gather*}
x = – \frac{b}{2a}
\end{gather*}

이므로 한 개의 근을 가집니다. 이를 중근이라고 해요. 만약 $ b^2 – 4ac < 0 $이면 근호 안의 수가 음수가 되어 근이 존재하지 않아요.

이차방정식의 근의 개수

$ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 근의 개수는

⑴ $ b^2 – 4ac > 0 $이면 서로 다른 두 근

⑵ $ b^2 – 4ac = 0 $이면 한 근(중근)

⑶ $ b^2 – 4ac < 0 $이면 근이 없다.

※ $ b^2 – 4ac $를 판별식이라 한다.

※ $ b = 2b’ $이면 $ b^2 – 4ac $ 대신 $ b’^2 – ac $를 사용해도 된다.

$ x $에 대한 이차방정식 $ 2x^2 – 3x + 2 = 0 $의 근의 개수를 구하여라.

근을 구하는 게 아니라 근의 개수를 구하는 것이므로 $ b^2 – 4ac $의 부호만 알면 됩니다.

\begin{gather*}
(-3)^2 – 4 \times 2 \times 2 = -7 < 0
\end{gather*}

이므로 근이 없습니다.

$ a $와 $ c $의 부호가 다르면 $ ac < 0 $이고, $ ac < 0 $이면 $ -4ac > 0 $이고, $ -4ac > 0 $이면 $ b^2 – 4ac > 0 $이에요. 즉, $ x $에 대한 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $에서 이차항의 계수와 상수항의 부호가 다르면 무조건 서로 다른 두 근을 가집니다.

$ x $에 대한 이차방정식 $ 2x^2 – 3x – 1 = 0 $의 근의 개수를 구하여라.

이차항과 상수항의 부호가 다르므로 서로 다른 두 근을 가집니다.