수학 강좌 | 고등학교 > 방정식과 부등식 > 삼차방정식의 허근의 성질
삼차방정식 $ x^3 - 1 = 0 $은
\begin{gather*}
( x - 1 )( x^2 + x + 1 ) = 0
\end{gather*}
으로 인수분해되고, $ x-1=0 $에서 실근을 하나, $ x^2 + x + 1 = 0 $에서 두 허근을 갖습니다.
한 허근을 $ \omega $라 하면, $ x^3 - 1 = 0 $의 근이므로
\begin{gather*}
\omega^3 - 1 = 0 \ \ \ \therefore \ \ \omega^3 = 1
\end{gather*}
이고, $ x^2 + x + 1 = 0 $의 근이므로
\begin{gather*}
\omega^2 + \omega + 1 = 0
\end{gather*}
이 성립합니다.
$ x^2 + x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $라면 $ \overline{\omega} $도 근이므로
\begin{gather*}
\overline{\omega}^3 = 1, \ \ \ \overline{\omega}^2 + \overline{\omega} + 1 = 0
\end{gather*}
이 성립합니다.
$ x^2 + x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $와 $ \overline{\omega} $이므로, 근과 계수의 관계에 의하여
\begin{gather*}
\omega + \overline{\omega} = -1, \ \ \omega \overline{\omega} = 1
\end{gather*}
이 성립합니다.
삼차방정식 $ x^3 - 1 = 0 $의 허근의 성질
삼차방정식 $ x^3 - 1 = 0 $의 한 허근을 $ \omega $라 하면
$ \omega^3 = 1 $, $ \omega^2 + \omega + 1 = 0 $
$ \overline{\omega}^3 = 1 $, $ \overline{\omega}^2 + \overline{\omega} + 1 = 0 $
$ \omega + \overline{\omega} = -1 $, $ \omega \overline{\omega} = 1 $
삼차방정식 $ x^3 + 1 = 0 $은
\begin{gather*}
( x + 1 )( x^2 - x + 1 ) = 0
\end{gather*}
으로 인수분해되고, $ x+1=0 $에서 실근을 하나, $ x^2 - x + 1 = 0 $에서 두 허근을 갖습니다.
한 허근을 $ \omega $라 하면, $ x^3 + 1 = 0 $의 근이므로
\begin{gather*}
\omega^3 + 1 = 0 \ \ \ \therefore \ \ \omega^3 = -1
\end{gather*}
이고, $ x^2 - x + 1 = 0 $의 근이므로
\begin{gather*}
\omega^2 - \omega + 1 = 0
\end{gather*}
이 성립합니다.
$ x^2 - x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $라면 $ \overline{\omega} $도 근이므로
\begin{gather*}
\overline{\omega}^3 = -1, \ \ \ \overline{\omega}^2 - \overline{\omega} + 1 = 0
\end{gather*}
이 성립합니다.
$ x^2 - x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $와 $ \overline{\omega} $이므로, 근과 계수의 관계에 의하여
\begin{gather*}
\omega + \overline{\omega} = 1, \ \ \omega \overline{\omega} = 1
\end{gather*}
이 성립합니다.
삼차방정식 $ x^3 + 1 = 0 $의 허근의 성질
삼차방정식 $ x^3 + 1 = 0 $의 한 허근을 $ \omega $라 하면
$ \omega^3 = -1 $, $ \omega^2 - \omega + 1 = 0 $
$ \overline{\omega}^3 = -1 $, $ \overline{\omega}^2 - \overline{\omega} + 1 = 0 $
$ \omega + \overline{\omega} = 1 $, $ \omega \overline{\omega} = 1 $
