수학 강좌 | 고등학교 > 방정식과 부등식 > 삼차방정식의 허근의 성질

삼차방정식 $ x^3 – 1 = 0 $은

\begin{gather*}
( x – 1 )( x^2 + x + 1 ) = 0
\end{gather*}

으로 인수분해되고, $ x-1=0 $에서 실근을 하나, $ x^2 + x + 1 = 0 $에서 두 허근을 갖습니다.

한 허근을 $ \omega $라 하면, $ x^3 – 1 = 0 $의 근이므로

\begin{gather*}
\omega^3 – 1 = 0 \ \ \ \therefore \ \ \omega^3 = 1
\end{gather*}

이고, $ x^2 + x + 1 = 0 $의 근이므로

\begin{gather*}
\omega^2 + \omega + 1 = 0
\end{gather*}

이 성립합니다.

$ x^2 + x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $라면 $ \overline{\omega} $도 근이므로

\begin{gather*}
\overline{\omega}^3 = 1, \ \ \ \overline{\omega}^2 + \overline{\omega} + 1 = 0
\end{gather*}

이 성립합니다.

$ x^2 + x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $와 $ \overline{\omega} $이므로, 근과 계수의 관계에 의하여

\begin{gather*}
\omega + \overline{\omega} = -1, \ \ \omega \overline{\omega} = 1
\end{gather*}

이 성립합니다.

삼차방정식 $ x^3 – 1 = 0 $의 허근의 성질

삼차방정식 $ x^3 – 1 = 0 $의 한 허근을 $ \omega $라 하면

$ \omega^3 = 1 $, $ \omega^2 + \omega + 1 = 0 $

$ \overline{\omega}^3 = 1 $, $ \overline{\omega}^2 + \overline{\omega} + 1 = 0 $

$ \omega + \overline{\omega} = -1 $, $ \omega \overline{\omega} = 1 $

 

삼차방정식 $ x^3 + 1 = 0 $은

\begin{gather*}
( x + 1 )( x^2 – x + 1 ) = 0
\end{gather*}

으로 인수분해되고, $ x+1=0 $에서 실근을 하나, $ x^2 – x + 1 = 0 $에서 두 허근을 갖습니다.

한 허근을 $ \omega $라 하면, $ x^3 + 1 = 0 $의 근이므로

\begin{gather*}
\omega^3 + 1 = 0 \ \ \ \therefore \ \ \omega^3 = -1
\end{gather*}

이고, $ x^2 – x + 1 = 0 $의 근이므로

\begin{gather*}
\omega^2 – \omega + 1 = 0
\end{gather*}

이 성립합니다.

$ x^2 – x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $라면 $ \overline{\omega} $도 근이므로

\begin{gather*}
\overline{\omega}^3 = -1, \ \ \ \overline{\omega}^2 – \overline{\omega} + 1 = 0
\end{gather*}

이 성립합니다.

$ x^2 – x + 1 = 0 $의 근이 $ \omega $와 $ \overline{\omega} $이므로, 근과 계수의 관계에 의하여

\begin{gather*}
\omega + \overline{\omega} = 1, \ \ \omega \overline{\omega} = 1
\end{gather*}

이 성립합니다.

삼차방정식 $ x^3 + 1 = 0 $의 허근의 성질

삼차방정식 $ x^3 + 1 = 0 $의 한 허근을 $ \omega $라 하면

$ \omega^3 = -1 $, $ \omega^2 – \omega + 1 = 0 $

$ \overline{\omega}^3 = -1 $, $ \overline{\omega}^2 – \overline{\omega} + 1 = 0 $

$ \omega + \overline{\omega} = 1 $, $ \omega \overline{\omega} = 1 $