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점 $ A(x_1, \ y_1) $를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 $ \overrightarrow{u} = (a, \ b) $에 평행한 직선 $ l $ 위의 점을 $ P(x, \ y) $라 하자. 두 점 $ A $, $ P $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{p} $라고 하면

1. 벡터 방정식
   \begin{gather*}
   \overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + t \overrightarrow{u} \ \ (단, \ t는 \ 실수)
   \end{gather*}이때 벡터 $ \overrightarrow{u} $를 직선 $ l $의 방향벡터라 한다.
2. 매개변수방정식
   \begin{gather*}
   x = x_1 + at, \ \ y = y_1 + bt
   \end{gather*}
3. 직선의 방정식
   \begin{gather*}
   \frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} \ \ (단, \ ab \neq 0)
   \end{gather*}

두 점 $ A(x_1, \ y_1) $, $ B(x_2, \ y_2) $를 지나는 직선 $ l $ 위의 점을 $ P(x, \ y) $라 하자. 세 점 $ A $, $ B $, $ P $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{p} $라고 하면

1. 벡터 방정식
   \begin{gather*}
   \overrightarrow{p} = \overrightarrow{a} + t ( \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} ) \ \ (단, \ t는 \ 실수)
   \end{gather*}
2. 매개변수방정식
   \begin{gather*}
   x = x_1 + (x_2-x_1)t, \ \ y = y_1 + (y_2-y_1)t
   \end{gather*}
3. 직선의 방정식
   \begin{gather*}
   \frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} \ \ (단, \ x_1 \neq x_2, \ y_1 \neq y_2)
   \end{gather*}

점 $ A(x_1, \ y_1) $를 지나고, 벡터 $ \overrightarrow{n} = (n_1, \ n_2) $에 수직인 직선의 방정식은

\begin{gather*}
n_1 (x-x_1) + n_2 (y-y_1) = 0
\end{gather*}

방향벡터가 각각 $ \overrightarrow{u_1} = (a_1, \ b_1) $, $ \overrightarrow{u_2} = (a_2, \ b_2) $인 두 직선 $ l_1 $, $ l_2 $가 이루는 각의 크기를 $ \theta \left( 0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} \right) $라 할 때

\begin{gather*}
\cos \theta = \frac{|\overrightarrow{u_1} \bullet \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|} = \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt{{a_2}^2 + {b_2}^2}}
\end{gather*}

두 직선 $ l_1 $, $ l_2 $의 방향벡터가 각각 $ \overrightarrow{u_1} = (a_1, \ b_1) $, $ \overrightarrow{u_2} = (a_2, \ b_2) $일 때

1. 두 직선이 평행할 조건
   \begin{gather*}
   l_1 \parallel l_2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overrightarrow{u_1} = t \overrightarrow{u_2} \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_1:b_1 = a_2:b_2
   \end{gather*}
2. 두 직선이 수직일 조건
   \begin{gather*}
   l_1 \perp l_2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ \overrightarrow{u_1} \bullet \overrightarrow{u_2} = 0 \ \ \Longleftrightarrow \ \ a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0
   \end{gather*}

점 $ C(x_1, \ y_1) $를 중심으로 하고 반지름의 길이가 $ r $인 원 위의 점을 $ P(x, \ y) $라 하자. 두 점 $ C $, $ P $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{c} $, $ \overrightarrow{p} $라 하면

1. 벡터방정식
   \begin{gather*}
   | \overrightarrow{p} - \overrightarrow{c} | = r
   \end{gather*}
2. 원의 방정식
   \begin{gather*}
   (x-x_1)^2 + (y-y_1)^2 = r^2
   \end{gather*}