수학 공식 | 고등학교 > 평면벡터의 내적
평면벡터의 내적
두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta \ ( 0 \leq \theta \leq \pi) $라 할 때 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다.
\begin{align*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \cos \theta
\end{align*}
- 벡터의 내적은 실수이며, $ \theta $의 크기에 따라 부호가 달라진다.
- $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{a} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{a} | \cos 0 = | \overrightarrow{a} |^2 $
평면벡터의 내적과 성분
$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $이면
\begin{align*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a_1b_1+a_2b_2
\end{align*}
평면벡터의 내적의 연산법칙
세 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $와 실수 $ m $에 대하여
- $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a} $
- $ ( m \overrightarrow{a} ) \bullet \overrightarrow{b} = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) = \overrightarrow{a} \bullet ( m \overrightarrow{b} ) $
- $ \overrightarrow{a} \bullet ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c} $
$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $, $ \overrightarrow{c} = (c_1, \ c_2) $이면
- $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = b_1 a_1 + b_2 a_2 = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a} $
- $ ( m \overrightarrow{a} ) \bullet \overrightarrow{b} = (ma_1, \ ma_2) \bullet (b_1, \ b_2) \\= (ma_1) b_1 + (ma_2) b_2 = m(a_1 b_1 + a_2 b_2) = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) $
$ \overrightarrow{a} \bullet (m \overrightarrow{b} ) = (a_1, \ a_2) \bullet (mb_1, \ mb_2) \\= a_1 (mb_1) + a_2(mb_2) = m(a_1 b_1 + a_2 b_2) = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) $ - $ \overrightarrow{a} \bullet ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ) = ( a_1, \ a_2 ) \bullet ( b_1 + c_1, \ b_2 + c_2 ) \\= a_1b_1 + a_1 c_1 + a_2b_2 + a_2 c_2 \\= ( a_1 b_1 + a_2 b_2 ) + ( a_1 c_1 + a_2 c_2 ) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c} $
두 평면벡터가 이루는 각의 크기
영벡터가 아닌 두 평면벡터 $ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $가 이루는 각의 크기가 $ \theta $($ 0 \leq \theta \leq \pi $)일 때
\begin{gather*}
\cos \theta = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2}{\sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2} \sqrt{{b_1}^2 + {b_2}^2}}
\end{gather*}
평면벡터의 수직과 평행
$ \overrightarrow{a} \neq 0 $, $ \overrightarrow{b} \neq 0 $일 때
- 벡터의 수직조건 : $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 $
- 벡터의 평행조건 : $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \pm | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | $
