수학 공식 | 고등학교 > 벡터의 내적

벡터의 내적

두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta \ ( 0 \leq \theta \leq \pi) $라 할 때 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다.

\begin{align*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | \cos \theta
\end{align*}

  • 벡터의 내적은 실수이며, $ \theta $의 크기에 따라 부호가 달라진다.
  • $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{a} = | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{a} | \cos 0 = | \overrightarrow{a} |^2 $

벡터의 내적의 성분에 의한 표시

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $이면

\begin{align*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a_1b_1+a_2b_2
\end{align*}

벡터의 내적의 성질

세 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $와 실수 $ m $에 대하여

  1. $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a} $
  2. $ ( m \overrightarrow{a} ) \bullet \overrightarrow{b} = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) = \overrightarrow{a} \bullet ( m \overrightarrow{b} ) $
  3. $ \overrightarrow{a} \bullet ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c} $

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $, $ \overrightarrow{c} = (c_1, \ c_2) $이면

  1. $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 = b_1 a_1 + b_2 a_2 = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a} $
  2. $ ( m \overrightarrow{a} ) \bullet \overrightarrow{b} = (ma_1, \ ma_2) \bullet (b_1, \ b_2) \\= (ma_1) b_1 + (ma_2) b_2 = m(a_1 b_1 + a_2 b_2) = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) $
    $ \overrightarrow{a} \bullet (m \overrightarrow{b} ) = (a_1, \ a_2) \bullet (mb_1, \ mb_2) \\= a_1 (mb_1) + a_2(mb_2) = m(a_1 b_1 + a_2 b_2) = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) $
  3. $ \overrightarrow{a} \bullet ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ) = ( a_1, \ a_2 ) \bullet ( b_1 + c_1, \ b_2 + c_2 ) \\= a_1b_1 + a_1 c_1 + a_2b_2 + a_2 c_2 \\= ( a_1 b_1 + a_2 b_2 ) + ( a_1 c_1 + a_2 c_2 ) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c} $

벡터의 수직과 평행

$ \overrightarrow{a} \neq 0 $, $ \overrightarrow{b} \neq 0 $일 때

  1. 벡터의 수직조건 : $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 $
  2. 벡터의 평행조건 : $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \pm | \overrightarrow{a} | | \overrightarrow{b} | $