수학 공식 | 고등학교 > 위치벡터

위치벡터

시점을 한 점 $ {O} $로 고정시키면 $ \overrightarrow{{OA}} $와 평면 위의 한 점 $ {A} $는 일대일 대응한다. 이 때 $ \overrightarrow{{OA}} $를 점 $ {O} $에 대한 점 $ {A} $의 위치벡터라 한다.

선분의 분점의 위치벡터

선분 $ {AB} $를 $ m : n \ (m>0, \ n>0) $으로 내분하는 점을 $ {P} $, 외분하는 점을 $ {Q} $, 중점을 $ {D} $라 하고 점 $ {A} $, $ {B} $, $ {P} $, $ {Q} $, $ {D} $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{p} $, $ \overrightarrow{q} $, $ \overrightarrow{d} $라 하면

  1. $ \overrightarrow{p} = \dfrac{m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{a}}{m+n} $
  2. $ \overrightarrow{q} = \dfrac{m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}}{m-n} $
  3. $ \overrightarrow{d} = \dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2} $

삼각형 무게중심의 위치벡터

$ \triangle {ABC} $의 무게중심을 $ G $라 하고 점 $ A $, $ B $, $ C $, $ G $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $, $ \overrightarrow{g} $하 하면

\begin{gather*}
\overrightarrow{g} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\end{gather*}

평면의 기본벡터

좌표평면에서 $ x $축의 양의 방향과 같은 방향을 갖고 크기가 $ 1 $인 벡터를 $ \overrightarrow{e_1} $, $ y $축의 양의 방향과 같은 방향을 갖고 크기가 $ 1 $인 벡터를 $ \overrightarrow{e_2} $라 할 때, $ \overrightarrow{e_1} $과 $ \overrightarrow{e_2} $를 평면의 기본벡터라고 한다.

평면벡터의 성분

$ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{{OA}} $에서 $ {O}(0, \ 0) $, $ {A}(a_1, \ a_2) $라 하면 $ \overrightarrow{a} $는

\begin{gather*}
a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2}
\end{gather*}

로 나타낼 수 있다. 이때 $ a_1 $을 $ \overrightarrow{a} $의 $ x $성분, $ a_2 $를 $ \overrightarrow{a} $의 $ y $성분이라 하고, $ a_1 $, $ a_2 $를 $ \overrightarrow{a} $의 성분이라고 한다. $ \overrightarrow{a} $를 성분을 사용하여 $ (a_1, \ a_2) $로 나타내는 것을 $ \overrightarrow{a} $의 성분표시라고 한다.

평면벡터의 성분의 성질

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $이고 $ m $이 실수일 때

  1. $ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \ \Longleftrightarrow \ a_1 = b_1, \ a_2 = b_2 $
  2. $ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2} $
  3. $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_1+b_1, \ a_2+b_2) $
  4. $ \overrightarrow{a} - \overrightarrow{b} = (a_1-b_1, \ a_2-b_2) $
  5. $ m\overrightarrow{a} = (m a_1, \ m a_2) $