수학 공식 | 고등학교 > 타원의 뜻과 타원의 방정식

타원의 정의

  1. 평면 위의 두 정점 $ F $, $ F’ $으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라고 한다.
  2. 두 정점 $ F $, $ F’ $을 잇는 직선이 타원과 만나는 점을 각각 $ A $, $ A’ $, $ \overline{FF’} $의 수직이등분선이 타원과 만나는 점을 각각 $ B $, $ B’ $이라 할 때, $ F $, $ F’ $을 타원의 초점, $ A $, $ A’ $, $ B $, $ B’ $을 타원의 꼭짓점, $ \overline{AA’} $을 타원의 장축, $ \overline{BB’} $을 타원의 단축, 장축과 단축의 교점을 타원의 중심이라 한다.

타원의 방정식

  1. 두 점 $ {F}(c, \ 0) $, $ {F’}(-c, \ 0) $으로부터의 거리의 합이 $ 2a $인 타원의 방정식
    \begin{gather*}
    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a>b>0, \ \ b^2 = a^2-c^2)
    \end{gather*}
  2. 두 점 $ F(0, \ c) $, $ F'(0, \ -c) $로부터의 거리의 합이 $ 2b $인 타원의 방정식
    \begin{gather*}
    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (b>a>0, \ \ a^2 = b^2-c^2)
    \end{gather*}
  1. 두 점 $ (c, \ 0) $, $ (-c, \ 0) $으로부터의 거리의 합이 $ 2a $인 타원 위의 임의의 점을 $ (x, \ y) $라 하면 타원의 정의에 따라 다음 식이 성립한다. (단, $ a > c > 0 $)
    \begin{gather*}
    \sqrt{(x-c)^2+y^2} + \sqrt{(x+c)^2+y^2} = 2a \\
    \therefore \ \sqrt{(x-c)^2+y^2} = 2a – \sqrt{(x+c)^2+y^2}
    \end{gather*}양변을 제곱하여 정리하면
    \begin{align*}
    a \sqrt{(x+c)^2+y^2} = a^2 + cx
    \end{align*}이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면
    \begin{align*}
    (a^2-c^2) x^2 + a^2 y^2 = a^2 (a^2-c^2)
    \end{align*}이다. $ a^2 – c^2 = b^2 \ (b>0) $으로 놓고 정리하면
    \begin{align*}
    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (\textrm{단}, \ b^2 = a^2-c^2)
    \end{align*}
  2. 두 점 $ (0, \ c) $, $ (0, \ -c) $으로부터의 거리의 합이 $ 2b $인 타원 위의 임의의 점을 $ (x, \ y) $라 하면 타원의 정의에 따라 다음 식이 성립한다. (단, $ b > c > 0 $)
    \begin{gather*}
    \sqrt{x^2+(y-c)^2} + \sqrt{x^2+(y+c)^2} = 2b \\
    \therefore \ \sqrt{x^2+(y-c)^2} = 2b – \sqrt{x^2+(y+c)^2}
    \end{gather*}양변을 제곱하여 정리하면
    \begin{align*}
    b \sqrt{x^2+(y+c)^2} = b^2 + cy
    \end{align*}이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면
    \begin{align*}
    b^2 x^2 + ( b^2 – c^2 ) y^2 = b^2 (b^2-c^2)
    \end{align*}이다. $ b^2 – c^2 = a^2 \ (a>0) $으로 놓고 정리하면
    \begin{align*}
    \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (\textrm{단}, \ a^2 = b^2-c^2)
    \end{align*}

두 점 $ (4, \ 0) $, $ (-4, \ 0) $으로부터의 거리의 합이 $ 10 $인 점의 자취의 방정식을 구하여라.

$ c=4 $, $ a=5 $이므로 $ b^2=5^2 – 4^2 = 9 $이다. 따라서 타원의 방정식은

\begin{gather*}
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1
\end{gather*}

두 점 $ (0, \ 2) $, $ (0, \ -2) $으로부터의 거리의 합이 $ 6 $인 점의 자취의 방정식을 구하여라.

$ c=2 $, $ b=3 $이므로 $ a^2=3^2 – 2^2 = 5 $이다. 따라서 타원의 방정식은

\begin{gather*}
\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1
\end{gather*}

타원의 평행이동

타원

\begin{gather*}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a>0, \ b>0)
\end{gather*}

을 $ x $축 방향으로 $ m $, $ y $축 방향으로 $ n $만큼 평행이동시킨 타원의 방정식은

\begin{gather*}
\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1
\end{gather*}

타원의 방정식의 일반형

\begin{gather*}
Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \ \ (\textrm{단}, \ AB>0, \ A \neq B)
\end{gather*}