수학 공식 | 중학교 > 유리수와 순환소수

유리수

분수 $ \dfrac{a}{b} $ ($ a $, $ b $는 정수, $ b \neq 0 $)의 꼴로 나타낼 수 있는 수를 유리수라 한다.

유리수의 분류

\begin{align*}
유리수 \ \ \begin{cases}
\ \ 정수 \begin{cases} \ \ 양의 \ 정수 \\ \ \ 0 \\ \ \ 음의 \ 정수 \end{cases} \\
\ \ 정수가 \ 아닌 \ 유리수
\end{cases}
\end{align*}

소수의 분류

  1. 유한소수 : 소수점 아래에 $ 0 $이 아닌 숫자가 유한개인 소수
  2. 무한소수 : 소수점 아래에 $ 0 $이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수
  • 유한소수의 예 : $ 1.5 $, $ 3.14 $
  • 무한소수의 예 : $ 0.55555 \cdots $, $ 3.528469 \cdots $

다음 분수를 소수로 나타내고, 유한소수인지 무한소수인지 말하여라.

  1. $ \dfrac{1}{25} $
  2. $ \dfrac{2}{7} $
  1. $ \dfrac{1}{25} = 0.04 $, 유한소수
  2. $ \dfrac{2}{7} = 0.285714 \cdots $, 무한소수

순환소수

  1. 순환소수 : 무한소수 중에서 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수
  2. 순환마디 : 순환소수에서 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 한 부분
  3. 순환소수의 표현 : 순환마디는 한 번만 쓰고, 그 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 나타낸다.
  • 순환소수 $ 0.3333 \cdots $의 순환마디는 $ 3 $이고, $ 0.\dot{3} $와 같이 나타낸다.
  • 순환소수 $ 0.151515 \cdots $의 순환마디는 $ 15 $이고, $ 0.\dot{1}\dot{5} $와 같이 나타낸다.
  • 순환소수 $ 0.5123123 \cdots $의 순환마디는 $ 123 $이고, $ 0.5\dot{1}2\dot{3} $와 같이 나타낸다.

유한소수로 나타낼 수 있는 분수

분수를 기약분수로 나타내고 그 분모를 소인수분해하였을 때, 분모의 소인수가 $ 2 $ 또는 $ 5 $뿐이면 그 분수는 유한소수로 나타낼 수 있다.

  • 분모의 소인수 중에 $ 2 $ 또는 $ 5 $ 이외의 소인수가 있으면 그 분수는 순환소수이다.

순환소수를 분수로 바꾸기 – 방법 1

  1. 순환소수를 $ x $로 놓는다.
  2. 양변에 $ 10 $의 거듭제곱을 곱하여 소수점 아래의 부분이 같은 두 식을 만든다.
  3. 두 식을 변끼리 빼서 $ x $의 값을 구한다.

순환소수 $ 0.1\dot{2}\dot{3} $을 분수로 나타내어라.

$ x = 0.123232323\cdots $라 하면

\begin{align*}
1000x &= 123.23232323 \cdots \\
10x &= 1.23232323 \cdots
\end{align*}

변끼리 빼면

\begin{gather*}
990x = 122 \ \ \ \therefore \ \ x = \frac{122}{990} = \frac{61}{495}
\end{gather*}

순환소수를 분수로 바꾸기 – 방법 2

  1. 분모: 순환마디를 이루는 숫자의 개수만큼 $ 9 $를 쓰고, 그 뒤에 소수점 아래 순환마디에 포함되지 않는 숫자의 개수만큼 $ 0 $을 쓴다.
  2. 분자: 전체의 수에서 순환하지 않는 부분의 수를 뺀 값을 쓴다.
  • 서술형 문제는 방법 1로 푼다.

순환소수 $ 0.1\dot{2}\dot{3} $을 분수로 나타내어라.

$ \displaystyle \frac{123-1}{990} = \frac{122}{990} = \frac{61}{495} $

순환소수 $ 1.2\dot{3}4\dot{5} $을 분수로 나타내어라.

$ \displaystyle \frac{12345-12}{9990} = \frac{12333}{9990} = \frac{4111}{3330} $