수학 공식 | 중학교 > 일차방정식과 그 해

등식

등호($ = $)를 사용하여 나타낸 식을 등식이라 한다.

방정식과 해

  1. 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라 한다.
  2. 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 방정식의 해 또는 근이라 한다.
  3. 방정식의 해를 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.
  4. 방정식의 해를 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.
  • 예를 들어 $ 2x = 4 $는 $ x $의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하므로 방정식이다.
    $ x=2 $를 대입하면 참이 되므로, 방정식의 해는 $ 2 $이다.

항등식

미지수에 어떠한 값을 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 항등식이라 한다.

  • 좌변과 우변을 각각 간단히 하여 좌변과 우변이 같으면 항등식이다.

등식 $ ax + b = 3x + 7 $이 $ x $에 대항 항등식이 되도록하는 상수 $ a $, $ b $의 값을 구하여라.

$ a=3, \ \ b=7 $

등식의 성질

  1. $ a = b $이면 $ a+c = b+c $이다.
  2. $ a = b $이면 $ a-c = b-c $이다.
  3. $ a = b $이면 $ ac = bc $이다.
  4. $ a = b $이면 $ \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} $이다. (단, $ c \neq 0 $)
  • '$ ac = bc $이면 $ a = b $이다.'는 거짓이다. $ c=0 $이면 $ a \neq b $이어도 $ ac = bc $이기 때문이다.

이항

등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 그 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라 한다.

  • $ 2x + 1 = 4 $에서 $ 1 $을 이항하면 $ 2x = 4 -1 $
  • $ 3x - 6 = 2 $에서 $ -6 $을 이항하면 $ 3x = 2 + 6 $

일차방정식

$ x $를 미지수로 하는 방정식이 있을 때, $ x $의 최고차항이 일차인 방정식, 즉

\begin{gather*}
ax+b=0 \ \ ( a \neq 0 )
\end{gather*}

꼴인 방정식을 일차방정식이라 한다.

등식 $ ax + 3 = 4x - b $가 $ x $에 대한 일차방정식이 되기 위한 조건을 구하여라.

일차항의 계수가 $ 0 $이 아니어야 하므로 $ a \neq 4 $

일차방정식의 풀이

  1. 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 먼저 푼다.
  2. 일차항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 각각 이항하여 정리한다.
  3. 양변을 $ x $의 계수로 나누어 $ x=(수) $의 꼴로 나타낸다.
  4. 구한 해가 일차방정식을 참이 되게 하는지 확인한다.

다음 방정식의 해를 구하여라.

\begin{gather*}
4(x-2)=2x-4
\end{gather*}

$ 4x-8 = 2x-4 $

$ 4x-2x = -4+8 $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

복잡한 일차방정식의 풀이

계수가 소수 또는 분수인 일차방정식은 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 모두 정수로 고쳐서 푼다.

  • 계수가 소수이면 양변에 $ 10 $, $ 100 $, $ 1000 $, $ \cdots $을 곱하고, 계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다.

다음 방정식의 해를 구하여라.

  1. $ 0.6x + 1 = 0.2(x-3) $
  2. $ \dfrac{1}{2}(x-4) = \dfrac{x}{3} + 1 $
  1. 양변에 $ 10 $을 곱한 후 푼다.
    $ 6x +10 = 2(x-3) $
    $ 6x+ 10 = 2x-6 $
    $ 6x-2x = -6-10 $
    $ 4x = - 16 $
    $ x = - 4 $
  2. 양변에 $ 6 $을 곱한 후 푼다.
    $ 3(x-4) = 2x+6 $
    $ 3x-12 = 2x + 6 $
    $ 3x-2x = 6+12 $
    $ x=18 $