수학 공식 | 중학교 > 일차방정식과 그 해

등식

등호($ = $)를 사용하여 나타낸 식을 등식이라 한다.

방정식과 해

  1. 미지수의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식이라 한다.
  2. 방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 방정식의 또는 이라 한다.
  3. 방정식의 해를 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.
  4. 방정식의 해를 방정식에 대입하면 좌변과 우변이 같아진다.
  • 예를 들어 $ 2x = 4 $는 $ x $의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하므로 방정식이다.
    $ x=2 $를 대입하면 참이 되므로, 방정식의 해는 $ 2 $이다.

항등식

미지수에 어떠한 값을 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 항등식이라 한다.

  • 좌변과 우변을 각각 간단히 하여 좌변과 우변이 같으면 항등식이다.

등식 $ ax + b = 3x + 7 $이 $ x $에 대항 항등식이 되도록하는 상수 $ a $, $ b $의 값을 구하여라.

$ a=3, \ \ b=7 $

등식의 성질

  1. $ a = b $이면 $ a+c = b+c $이다.
  2. $ a = b $이면 $ a-c = b-c $이다.
  3. $ a = b $이면 $ ac = bc $이다.
  4. $ a = b $이면 $ \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c} $이다. (단, $ c \neq 0 $)
  • ‘$ ac = bc $이면 $ a = b $이다.’는 거짓이다. $ c=0 $이면 $ a \neq b $이어도 $ ac = bc $이기 때문이다.

이항

등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 그 항의 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라 한다.

  • $ 2x + 1 = 4 $에서 $ 1 $을 이항하면 $ 2x = 4 -1 $
  • $ 3x – 6 = 2 $에서 $ -6 $을 이항하면 $ 3x = 2 + 6 $

일차방정식

$ x $를 미지수로 하는 방정식이 있을 때, $ x $의 최고차항이 일차인 방정식, 즉

\begin{gather*}
ax+b=0 \ \ ( a \neq 0 )
\end{gather*}

꼴인 방정식을 일차방정식이라 한다.

등식 $ ax + 3 = 4x – b $가 $ x $에 대한 일차방정식이 되기 위한 조건을 구하여라.

일차항의 계수가 $ 0 $이 아니어야 하므로 $ a \neq 4 $

일차방정식의 풀이

  1. 괄호가 있으면 분배법칙을 이용하여 괄호를 먼저 푼다.
  2. 일차항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 각각 이항하여 정리한다.
  3. 양변을 $ x $의 계수로 나누어 $ x=(수) $의 꼴로 나타낸다.
  4. 구한 해가 일차방정식을 참이 되게 하는지 확인한다.

다음 방정식의 해를 구하여라.

\begin{gather*}
4(x-2)=2x-4
\end{gather*}

$ 4x-8 = 2x-4 $

$ 4x-2x = -4+8 $

$ 2x = 4 $

$ x = 2 $

복잡한 일차방정식의 풀이

계수가 소수 또는 분수인 일차방정식은 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 모두 정수로 고쳐서 푼다.

  • 계수가 소수이면 양변에 $ 10 $, $ 100 $, $ 1000 $, $ \cdots $을 곱하고, 계수가 분수이면 양변에 분모의 최소공배수를 곱한다.

다음 방정식의 해를 구하여라.

  1. $ 0.6x + 1 = 0.2(x-3) $
  2. $ \dfrac{1}{2}(x-4) = \dfrac{x}{3} + 1 $
  1. 양변에 $ 10 $을 곱한 후 푼다.
    $ 6x +10 = 2(x-3) $
    $ 6x+ 10 = 2x-6 $
    $ 6x-2x = -6-10 $
    $ 4x = – 16 $
    $ x = – 4 $
  2. 양변에 $ 6 $을 곱한 후 푼다.
    $ 3(x-4) = 2x+6 $
    $ 3x-12 = 2x + 6 $
    $ 3x-2x = 6+12 $
    $ x=18 $