수학 공식 | 고등학교 > 로그미분법

로그함수의 도함수

  1. $ \left( \ln |x| \right)’ = \dfrac{1}{x} $
  2. $ \left( \log_a |x| \right)’ = \dfrac{1}{x \ln a} $

※ $ \left( \ln |f(x)| \right)’ = \dfrac{f'(x)}{f(x)} $

증명

  1. $ x>0 $일 때, $ \ln |x| = \ln x $이므로
    \begin{gather*}
    \left( \ln x \right)’ = \dfrac{1}{x}
    \end{gather*}$ x<0 $일 때, $ \ln |x| = \ln (-x) $이므로
    \begin{gather*}
    \left\{ \ln (-x) \right\}’ = \dfrac{-1}{-x} = \dfrac{1}{x}
    \end{gather*}
  2. $ \left( \log_a |x| \right)’ = \left( \dfrac{\ln |x|}{\ln a} \right)’ = \dfrac{1}{\ln a} \left( \ln |x| \right)’ = \dfrac{1}{x \ln a} $

로그미분법

  1. 밑과 지수에 변수가 있는 경우 양변에 자연로그를 취한 후 미분한다.
  2. 복잡한 분수함수인 경우 양변의 절댓값에 자연로그를 취한 후 미분한다.

함수 $ y = x^x $를 미분하여라. (단, $ x>0 $)

양변에 자연로그를 취하고

\begin{gather*}
\ln y = \ln x^x , \ \ \ln y = x \ln x
\end{gather*}

양변을 $ x $에 대하여 미분한다.

\begin{gather*}
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + x \frac{1}{x} \\
\frac{dy}{dx} = y \left( \ln x + 1 \right)
\end{gather*}

$ y=x^x $를 대입한다.

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = x^x \left( \ln x + 1 \right)
\end{gather*}

함수 $ y = \dfrac{(x-1)^3 (x+2)^2}{(x+1)^4} $을 미분하여라.

양변의 절댓값에 자연로그를 취하여 정리하면

\begin{align*}
\ln | y | &= \ln \left| \frac{(x-1)^3 (x+2)^2}{(x+1)^4} \right| \\
&= 3 \ln |x-1| + 2 \ln |x+2| – 4 \ln |x+1|
\end{align*}

양변을 $ x $에 대하여 미분하면

\begin{align*}
\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+2} – \frac{4}{x+1}
\end{align*}

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3}{x-1} + \frac{2}{x+2} – \frac{4}{x+1} \right)
\end{gather*}

$ \boldsymbol{ x^n } $ ($ \boldsymbol{ n } $은 실수)의 도함수

$ n $이 실수일 때 $ x^{n} $의 도함수는

\begin{gather*}
\left\{ x^{n} \right\}’ = n x^{n-1}
\end{gather*}

$ y = x^n $의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면

\begin{gather*}
\ln |y| = n \ln |x|
\end{gather*}

양변을 $ x $에 대하여 미분하면

\begin{gather*}
\frac{y’}{y} = \frac{n}{x} \ \ \ \therefore \ \ y’ = \frac{n}{x} \cdot y = n x^{n-1}
\end{gather*}