유한소수, 무한소수, 순환소수
유한소수와 무한소수
소수는 유한소수와 무한소수로 구분할 수 있어요.
유한소수는 소수점 아래의 $ 0 $이 아닌 숫자가 유한개인 소수입니다.
\begin{gather*}
0.3, \ \ 2.1234, \ \ 43.96857
\end{gather*}
은 다 유한소수입니다.
무한소수는 소수점 아래의 $ 0 $이 아닌 숫자가 무한히 많은 소수입니다. 무한히 많은 수를 다 쓸 수 없으므로 $ \cdots $를 이용해서 표현합니다.
\begin{gather*}
0.1234 \cdots, \ \ 3.14 \cdots
\end{gather*}
분수가 유한소수인지 판정하는 방법
유한소수를 분수로 바꾸면 분모는 $ 10 $의 거듭제곱이 됩니다. 즉 분모가 $ 10 $의 거듭제곱이거나 $ 10 $의 거듭제곱으로 나타낼 수 있는 분수는 유한소수에요.
$ 10 $의 거듭제곱을 소인수분해하면 소인수는 $ 2 $나 $ 5 $뿐이므로, 분모를 소인수분해했을 때 소인수가 $ 2 $나 $ 5 $뿐인 분수는 유한소수입니다.
순환소수와 순환하지 않는 무한소수
무한소수는 순환소수와 순환하지 않는 무한소수로 구분할 수 있어요.
순환소수는 소수점 아래의 어떤 자리에서부터 일정한 숫자의 배열이 한없이 되풀이되는 소수입니다. 그리고 그 되풀이되는 부분을 순환마디라고 합니다. 예를 들어
\begin{gather*}
0.333333 \cdot
\end{gather*}
은 순환마디가 $ 3 $인 순환소수이고,
\begin{gather*}
13.32567567567 \cdots
\end{gather*}
은 순환마디가 $ 567 $인 순환소수입니다.
무한소수 중 순환소수가 아닌 것, 즉 순환하지 않는 무한소수를 무리수라고 합니다.
순환소수의 표현
순환소수는 순환마디의 양 끝의 숫자 위에 점을 찍어서 짧게 나타낼 수 있어요.
\begin{align*}
0.3333333 \cdots &= 0.\dot{3} \\
0.1232323 \cdots &= 0.1 \dot{2} \dot{3} \\
13.32567567 \cdots &= 13.32 \dot{5} 6 \dot{7}
\end{align*}
순환소수를 분수로 바꾸는 방법
순환소수는 분수로 바꿀 수 있어요. 증명을 생략하고 방법만 소개할게요.
- 분모：순환마디의 숫자의 개수만큼 $ 9 $를 쓰고 그 뒤에 소수점 아래 순환마디에 포함되지 않는 숫자의 개수만큼 $ 0 $을 쓴다.
- 분자：(전체의 수)-(순환하지 않는 부분의 수)
몇 가지 예를 보여드리겠습니다.
\begin{align*}
1.2 \dot{3} &= \frac{123-12}{90} \\
12.3 \dot{4} \dot{5} &= \frac{12345-123}{990} \\
34. \dot{1} 2 \dot{3} &= \frac{34123-34}{999}
\end{align*}
