수학 공식 | 중학교 > 이차함수 공식 모음

이차함수의 뜻

함수 $ y = f(x) $에서 $ y $가 $ x $에 관한 이차식

\begin{gather*}
y = ax^2 + bx + c \ \ (a \neq 0)
\end{gather*}

일 때, 이 함수를 이차함수라 한다.

이차함수 $ y = ax^2 $의 그래프

  1. 원점을 꼭짓점으로 하는 포물선이다.
  2. $ y $축에 대칭이다.
  3. 그래프는 $ a>0 $일 때 아래로 볼록, $ a<0 $일 때 위로 볼록한 모양이다.
  4. $ a $의 절댓값이 클수록 폭이 좁아진다.
  5. $ y = -ax^2 $의 그래프와 $ x $축에 서로 대칭이다.

이차함수 $ y = ax^2 + q $의 그래프

  1. $ y = ax^2 $의 그래프를 $ y $축의 방향으로 $ q $만큼 평행이동한 것이다.
  2. 꼭짓점의 좌표는 $ (0, \ q) $이다.
  3. 축의 방정식은 $ x=0 $이다.

이차함수 $ y = a(x-p)^2 $의 그래프

  1. $ y = ax^2 $의 그래프를 $ x $축의 방향으로 $ p $만큼 평행이동한 것이다.
  2. 꼭짓점의 좌표는 $ (p, \ 0) $이다.
  3. 축의 방정식은 $ x=p $이다.

이차함수 $ y = a(x-p)^2 + q $의 그래프

  1. $ y = ax^2 $의 그래프를 $ x $축의 방향으로 $ p $만큼, $ y $축의 방향으로 $ q $만큼 평행이동한 것이다.
  2. 꼭짓점의 좌표는 $ (p, \ q) $이다.
  3. 축의 방정식은 $ x=p $이다.

이차함수 $ y = ax^2 + bx + c $의 그래프

이차함수 $ y = ax^2 + bx + c $의 그래프는 $ y = a(x-p)^2 + q $의 꼴로 고쳐서 그린다.

\begin{align*}
y &= ax^2 + bx + c \\
& = a \left( x^2 + \frac{b}{a}x \right) + c \\
&= a \left\{ x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 – \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} + c \\
&= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 – \frac{b^2 – 4ac}{4x}
\end{align*}

이차함수의 식 구하기

  1. 꼭짓점의 좌표나 축의 방정식이 주어진 경우 $ y = a(x-p)^2 + q $로 놓고 구한다.
  2. 세 점이 주어진 경우 $ y = ax^2 + bx + c $로 놓고 구한다.
  3. $ x $절편의 좌표가 주어진 경우 $ y = a(x-\alpha)(x-\beta) $로 놓고 구한다.

이차함수의 최댓값과 최솟값

이차함수를 $ y = a(x-p)^2 + q $의 꼴로 바꾼다.

  1. $ a>0 $일 때, $ x=p $에서 최솟값 $ q $를 갖는다.
  2. $ a<0 $일 때, $ x=p $에서 최댓값 $ q $를 갖는다.

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