볼록다각형의 내각의 합, 대각선의 개수 구하는 공식

볼록다각형의 내각의 합 구하는 공식

삼각형의 내각의 합은 $ 180^\circ $에요. 사각형은 삼각형 두 개로 쪼갤 수 있어요. 그래서 사각형의 내각의 합은

\begin{gather*}
180^\circ \times 2 = 360^\circ
\end{gather*}

입니다. 오각형은 삼각형 세 개로 쪼갤 수 있으므로, 내각의 합은

\begin{gather*}
180^\circ \times 3 = 540^\circ
\end{gather*}

입니다.

볼록 $ n $각형은 삼각형 $ n-2 $개로 쪼갤 수 있으므로, 내각의 합은

\begin{gather*}
180^\circ \times (n-2)
\end{gather*}

입니다.

볼록다각형의 대각선의 개수 구하는 공식

오각형의 대각선의 개수를 구해볼게요.

하나의 꼭짓점에서 다른 꼭짓점으로 그을 수 있는 대각선의 개수는 $ 2 $에요. 자기자신이 빠지고, 좌우에 이웃한 꼭짓점으로 그은 선은 변이 되니까요.

$ 5 $개의 꼭짓점이 있으니까 꼭짓점마다 $ 2 $개씩

\begin{gather*}
5 \times 2 = 10
\end{gather*}

개의 대각선을 그을 수 있어요.

그런데 꼭짓점 A에서 꼭짓점 B로 그은 대각선과, 꼭짓점 B에서 꼭짓점 A로 그은 대각선이 같으므로, 하나의 대각선을 중복하여 셌어요. 그걸 제거하기 위해 $ 2 $로 나누면 정확한 대각선의 개수 $ 5 $가 나옵니다.

\begin{gather*}
\frac{5 \times (5-3)}{2}
\end{gather*}

볼록 $ n $각형의 대각선의 개수를 세는 공식은 위 식에서 $ 5 $를 $ n $으로 바꾸면 돼요.

\begin{gather*}
\frac{n \times (n-3)}{2}
\end{gather*}

고등학생이라면 조합을 이용할 수도 있어요. 서로 다른 $ n $개의 점에서 두 개를 택한 후, 변 $ n $개를 제거합니다.

\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{2} – n = \frac{n \times (n-3)}{2}
\end{gather*}