수학 공식 | 고등학교 > 평면벡터 공식 모음

벡터의 정의

크기와 방향을 가지는 양을 벡터(vector)라 한다. 점 $ \mathrm{A} $에서 점 $ \mathrm{B} $로 향하는 벡터가 있다고 할 때, 점 $ \mathrm{A} $를 시점, 점 $ \mathrm{B} $를 종점이라 하고, 기호로 $ \overrightarrow{\mathrm{AB}} $와 같이 나타낸다.

벡터의 크기

벡터의 길이를 벡터의 크기라 하고, $ \overrightarrow{\mathrm{AB}} $의 크기는 기호로 $ | \overrightarrow{\mathrm{AB}} | $와 같이 나타낸다. 특히 길이가 $ 1 $인 벡터를 단위벡터, 크기가 $ 0 $인 벡터를 영벡터라 하고 $ \overrightarrow{0} $로 나타낸다.

역벡터

크기가 같고 방향이 반대인 벡터를 역벡터라 하고, $ \overrightarrow{\mathrm{AB}} $의 역벡터 $ \overrightarrow{\mathrm{BA}} $는 $ -\overrightarrow{\mathrm{AB}} $로 나타낸다.

벡터의 상등

두 벡터가 있을 때 위치에 관계없이 크기와 방향이 같으면 두 벡터는 같다고 한다.

벡터의 덧셈

$ \overrightarrow{a} $의 종점과 $ \overrightarrow{b} $의 시점을 일치 시켰을 때, $ \overrightarrow{a} $의 시점을 시점으로, $ \overrightarrow{b} $의 종점을 종점으로 하는 벡터를 $ \overrightarrow{a} $와 $ \overrightarrow{b} $의 합이라 하고, $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} $로 나타낸다.

벡터의 덧셈에 대한 성질

  1. $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} $
  2. $ (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a} + (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}) $
  3. $ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a} $
  4. $ \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} $

벡터의 뺄셈

두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $에 대하여 $ \overrightarrow{b} + \overrightarrow{x} = \overrightarrow{a} $를 만족하는 $ \overrightarrow{x} $를 $ \overrightarrow{a} $에서 $ \overrightarrow{b} $를 뺀 차라고 하고 $ \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b} $로 나타낸다.

벡터의 실수배

실수 $ m $과 벡터 $ \overrightarrow{a} $의 곱 $ m \overrightarrow{a} $은

  1. $ m > 0 $이면 $ \overrightarrow{a} $와 같은 방향이고 크기가 $ m |\overrightarrow{a}| $인 벡터
  2. $ m = 0 $이면 영벡터
  3. $ m < 0 $이면 $ \overrightarrow{a} $와 반대 방향이고 크기가 $ |m| |\overrightarrow{a}| $인 벡터

벡터의 실수배의 성질

임의의 실수 $ m $, $ n $과 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $에 대하여

  1. $ (mn)\overrightarrow{a} = m(n\overrightarrow{a}) = n(m\overrightarrow{a}) =mn\overrightarrow{a} $
  2. $ (m+n)\overrightarrow{a} = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{n} $
  3. $ m (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = m\overrightarrow{a} + n\overrightarrow{b} $

벡터의 상등

$ \overrightarrow{a} \nparallel \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{a} \neq \overrightarrow{0} $, $ \overrightarrow{b} \neq \overrightarrow{0} $이고 $ m $, $ n $, $ m’ $, $ n’ $이 실수일 때

  1. $ m \overrightarrow{a} + n \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} \ \Longleftrightarrow \ m=0, \ n=0 $
  2. $ m \overrightarrow{a} + n \overrightarrow{b} = m’ \overrightarrow{a} + n’ \overrightarrow{b} \ \Longleftrightarrow \ m=m’, \ n=n’ $

벡터의 평행조건

영벡터가 아닌 두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $에 대하여

\begin{gather*}
\overrightarrow{a} \parallel \overrightarrow{b} \ \Longleftrightarrow \ \overrightarrow{b} = k \overrightarrow{a} \ (k \neq 0)
\end{gather*}

세 점 A, B, C가 한 직선 위에 있을 조건

  1. $ \overrightarrow{\mathrm{AC}} = k \overrightarrow{\mathrm{AB}} \ (k \neq 0) $
  2. $ \overrightarrow{\mathrm{OC}} = \alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} + \beta \overrightarrow{\mathrm{OB}} \ (\alpha+\beta=1) $

위치벡터

시점을 한 점 $ \mathrm{O} $로 고정시키면 $ \overrightarrow{\mathrm{OA}} $와 평면 또는 공간의 한 점 $ \mathrm{A} $는 일대일 대응한다. 이 때 $ \overrightarrow{\mathrm{OA}} $를 점 $ \mathrm{O} $에 대한 점 $ \mathrm{A} $의 위치벡터라 한다.

선분의 분점의 위치벡터

평면 또는 공간에서 선분 $ \mathrm{AB} $를 $ m : n \ (m>0, \ n>0) $으로 내분하는 점을 $ \mathrm{P} $, 외분하는 점을 $ \mathrm{Q} $, 중점을 $ \mathrm{D} $라 하고 점 $ \mathrm{A} $, $ \mathrm{B} $, $ \mathrm{P} $, $ \mathrm{Q} $, $ \mathrm{D} $의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{p} $, $ \overrightarrow{q} $, $ \overrightarrow{d} $라 하면

  1. $ \overrightarrow{p} = \dfrac{m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{a}}{m+n} $
  2. $ \overrightarrow{q} = \dfrac{m\overrightarrow{b}-n\overrightarrow{a}}{m-n} $
  3. $ \overrightarrow{d} = \dfrac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2} $

삼각형 무게중심의 위치벡터

$ \triangle \mathrm{ABC} $의 무게중심을 G라 하고 점 A, B, C, G의 위치벡터를 각각 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $, $ \overrightarrow{c} $, $ \overrightarrow{g} $하 하면

\begin{gather*}
\overrightarrow{g} = \frac{1}{3} (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})
\end{gather*}

평면의 기본벡터

좌표평면에서 $ x $축의 양의 방향과 같은 방향을 갖고 크기가 1인 벡터를 $ \overrightarrow{e_1} $, $ y $축의 양의 방향과 같은 방향을 갖고 크기가 1인 벡터를 $ \overrightarrow{e_2} $라 할 때, $ \overrightarrow{e_1} $과 $ \overrightarrow{e_2} $를 평면의 기본벡터라고 한다.

평면벡터의 성분

$ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{\mathrm{OA}} $에서 $ \mathrm{O}(0, \ 0) $, $ \mathrm{A}(a_1, \ a_2) $라 하면 $ \overrightarrow{a} $는 $ a_1\overrightarrow{e_1}+a_2\overrightarrow{e_2} $로 나타낼 수 있는데, 이 때 $ a_1 $을 $ \overrightarrow{a} $의 $ x $성분, $ a_2 $를 $ \overrightarrow{a} $의 $ y $성분이라 하고, $ a_1 $, $ a_2 $를 $ \overrightarrow{a} $의 성분이라고 한다. $ \overrightarrow{a} $를 성분을 사용하여 $ (a_1, \ a_2) $로 나타내는 것을 $ \overrightarrow{a} $의 성분표시라고 한다.

평면벡터의 성분의 성질

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $이고 $ m $이 실수일 때

  1. $ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{b} \ \Longleftrightarrow \ a_1 = b_1, \ a_2 = b_2 $
  2. $ |\overrightarrow{a}| = \sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2} $
  3. $ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_1+b_1, \ a_2+b_2) $
  4. $ \overrightarrow{a} – \overrightarrow{b} = (a_1-b_1, \ a_2-b_2) $
  5. $ m\overrightarrow{a} = (m a_1, \ m a_2) $

평면벡터의 방향코사인

영벡터가 아닌 평면벡터 $ \overrightarrow{a} $가 $ x $축의 양의 방향 이루는 각을 $ \alpha $, $ y $축의 양의 방향과 이루는 각을 $ \beta $라 할 때, $ \cos \alpha $와 $ \cos \beta $를 $ \overrightarrow{a} $의 방향코사인이라 한다.

평면벡터의 방향코사인의 성질

영벡터가 아닌 평면벡터 $ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $라 할 때

  1. $ a_1 = |\overrightarrow{a}| \cos \alpha $, $ a_2 = |\overrightarrow{a}| \cos \beta $
  2. $ \overrightarrow{a} $와 방향이 같은 단위벡터는 $ (\cos \alpha, \ \cos \beta) $
  3. $ \cos ^2 \alpha + \cos ^2 \beta = 1 $

방향코사인

영벡터가 아닌 공간벡터 $ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2, \ a_3) $가 $ x $축의 양의 방향과 이루는 각을 $ \alpha $, $ y $축의 양의 방향과 이루는 각을 $ \beta $, $ z $축의 양의 방향과 이루는 각을 $ \gamma $라 할 때, $ \cos \alpha $, $ \cos \beta $, $ \cos \gamma $를 $ \overrightarrow{a} $의 방향코사인이라 한다. 그리고, 방향코사인의 비 $ \cos \alpha : \cos \beta : \cos \gamma $를 $ \overrightarrow{a} $의 방향비라 한다.

벡터의 내적

두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta \ ( 0 \leq \theta \leq \pi) $라 할 때 벡터의 내적은 다음과 같이 정의한다.

\begin{align*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} | \cos \theta
\end{align*}

벡터의 내적의 성분에 의한 표시

$ \overrightarrow{a} = (a_1, \ a_2) $, $ \overrightarrow{b} = (b_1, \ b_2) $이면

\begin{align*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = a_1b_1+a_2b_2
\end{align*}

벡터의 내적의 성질

  1. $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \bullet \overrightarrow{a} $
  2. $ ( m \overrightarrow{a} ) \bullet \overrightarrow{b} = \overrightarrow{a} \bullet ( m \overrightarrow{b} ) = m ( \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} ) $
  3. $ \overrightarrow{a} \bullet ( \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c} ) = \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} + \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{c} $

벡터의 수직과 평행

$ \overrightarrow{a} \neq 0 $, $ \overrightarrow{b} \neq 0 $일 때

  1. 벡터의 수직조건 : $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 $
  2. 벡터의 평행조건 : $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = \pm | \overrightarrow{a} | \cdot | \overrightarrow{b} | $

직선의 벡터방정식

  1. 점 $ \mathrm{A}(\overrightarrow{a}) $를 지나고 벡터 $ \overrightarrow{b} $에 평행한 직선의 벡터방정식
    \begin{gather*}
    \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b} \ (t\textrm{는 임의의 실수})
    \end{gather*}
  2. 두 점 $ \mathrm{A}(\overrightarrow{a}) $, $ \mathrm{B}(\overrightarrow{b}) $를 지나는 직선의 벡터방정식
    \begin{gather*}
    \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}) \ (t\textrm{는 임의의 실수})
    \end{gather*}

원과 구의 벡터방정식

  1. 평면 또는 공간에서 점 $ \mathrm{A}(\overrightarrow{a}) $를 중심으로 하고 반지름이 $ r $인 원 또는 구의 벡터방정식
    \begin{gather*}
    |\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}|=r, \quad (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})\bullet(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})=r^2
    \end{gather*}
  2. 평면 또는 공간에서 점 $ \mathrm{A}(\overrightarrow{a}) $와 점 $ \mathrm{B}(\overrightarrow{b}) $를 지름의 양끝으로 하는 원 또는 구의 벡터방정식
    \begin{gather*}
    (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a})\bullet(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{b})=0
    \end{gather*}