수학 강좌 | 고등학교 > 경우의 수 > 이항계수의 성질의 증명

다음 등식이 성립함을 증명하여라.

\begin{gather*}
\phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n = 2^n
\end{gather*}

$ (1+x)^n $의 전개식은 다음과 같다.

\begin{gather*}
(1+x)^n = \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 x + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 x^2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 x^3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n x^n = 2^n
\end{gather*}

$ x=-1 $을 대입하면

\begin{gather*}
2^n = \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n
\end{gather*}

다음 등식이 성립함을 증명하여라.

\begin{gather*}
\phantom{}_n\mathrm{C}_0 – \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 – \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + (-1)^n\phantom{}_n\mathrm{C}_n = 0
\end{gather*}

$ (1+x)^n $의 전개식은 다음과 같다.

\begin{gather*}
(1+x)^n = \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 x + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 x^2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 x^3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n x^n
\end{gather*}

$ x=1 $을 대입하면

\begin{gather*}
0 = \phantom{}_n\mathrm{C}_0 – \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 – \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + (-1)^n\phantom{}_n\mathrm{C}_n
\end{gather*}

$ n $이 홀수일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

\begin{gather*}
\phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_4 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_{n-1} = 2^{n-1}
\end{gather*}

$ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n = 2^n \ \ \ \cdots \ \textrm{①}$

$ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 – \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 – \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots – \phantom{}_n\mathrm{C}_n = 0 \ \ \ \cdots \ \textrm{②} $

$ (\textrm{①} + \textrm{②}) \div 2 \ : \ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_4 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_{n-1} = 2^{n-1} $

$ n $이 홀수일 때, 다음 등식이 성립함을 증명하여라.

\begin{gather*}
\phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \phantom{}_n\mathrm{C}_5 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_{n} = 2^{n-1}
\end{gather*}

$ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 + \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_n = 2^n \ \ \ \cdots \ \textrm{①}$

$ \phantom{}_n\mathrm{C}_0 – \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_2 – \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \cdots – \phantom{}_n\mathrm{C}_n = 0 \ \ \ \cdots \ \textrm{②} $

$ (\textrm{①} – \textrm{②}) \div 2 \ : \ \phantom{}_n\mathrm{C}_1 + \phantom{}_n\mathrm{C}_3 + \phantom{}_n\mathrm{C}_5 + \cdots + \phantom{}_n\mathrm{C}_{n} = 2^{n-1} $

$ (1+x)^n (1+x)^n = (1+x)^{2n} $임을 이용하여

\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{1} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{2} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-2} + \cdots + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0} = \phantom{}_{2n}\mathrm{C}_{n}
\end{gather*}

이 성립함을 증명하여라.

$ (1+x)^n (1+x)^n $에서 $ x^n $의 계수는

\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{1} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{2} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-2} + \cdots + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0}
\end{gather*}

이고, $ (1+x)^{2n} $에서 $ x^n $의 계수는

\begin{gather*}
\phantom{}_{2n}\mathrm{C}_{n}
\end{gather*}

이다. 따라서

\begin{gather*}
\phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{1} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-1} + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{2} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n-2} + \cdots + \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{n} \times \phantom{}_{n}\mathrm{C}_{0} = \phantom{}_{2n}\mathrm{C}_{n}
\end{gather*}