계차수열의 뜻과 계차수열로 원래 수열의 일반항 구하는 방법

계차수열의 뜻

수열에서 한 항과 그 바로 앞 항의 차를 계차라고 해요. 그리고 계차들로 이루어진 수열을 계차수열이라고 합니다.

예를 들어 다음과 같은 수열이 있다고 할게요.

\begin{gather*}
1, \ \ 2, \ \ 4, \ \ 7, \ \ 11, \ \ 16, \ \ \cdots
\end{gather*}

다음 항에서 현재 항을 빼면 다음과 같은 수열이 만들어져요.

\begin{gather*}
1, \ \ 2, \ \ 3, \ \ 4, \ \ 5, \ \ \cdots
\end{gather*}

이때 각 항이 계차가 되고, 이 수열을 계차수열이라고 부르는 거에요.

계차와 계차수열

수열 $ \left\{ a_n \right\} $에 대하여

\begin{gather*}
b_n = a_{n+1} – a_n
\end{gather*}

이라 할 때, $ b_n $을 계차, 수열 $ \left\{ b_n \right\} $을 계차수열이라고 한다.

다음 수열의 계차수열 $ \left\{ b_n \right\} $의 일반항을 구하여라.

\begin{gather*}
1, \ \ 3, \ \ 7, \ \ 13, \ \ 21, \ \ 31, \ \ \cdots
\end{gather*}

계차수열을 나열하면 다음과 같아요.

\begin{gather*}
2, \ \ 4, \ \ 6, \ \ 8, \ \ 10, \ \ \cdots
\end{gather*}

첫째항이 $ 2 $이고 공차가 $ 2 $인 등차수열이므로

\begin{gather*}
b_n = 2 + (n-1) \times 2 = 2n
\end{gather*}

입니다.

계차수열로 원래 수열의 일반항 구하기

수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 계차수열을 $ \left\{ b_n \right\} $이라 하면

\begin{gather*}
b_n = a_{n+1} – a_n
\end{gather*}

이 성립해요. 그리고 다음과 같이 정리할 수 있어요.

\begin{gather*}
a_{n+1} = a_n + b_n
\end{gather*}

이제 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 각 항을 하나씩 구해보면 다음과 같아요.

\begin{align*}
a_2 &= a_1 + b_1 \\
a_3 &= a_2 + b_2 = a_1 + b_1 + b_2 \\
a_4 &= a_3 + b_3 = a_1 + b_1 + b_2 + b_3 \\
\vdots \\
a_n &= a_{n-1} + b_{n-1} = a_1 + b_1 + b_2 + b_3 \cdots + b_{n-1}
\end{align*}

즉, 계차수열 $ \left\{ b_n \right\} $의 일반항을 알고 있다면 원래의 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 일반항을 구할 수 있어요.

계차수열을 이용하여 일반항 구하기

수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 계차수열 $ \left\{ b_n \right\} $일 때

\begin{gather*}
a_n = a_1 + b_1 + b_2 + b_3 \cdots + b_{n-1} = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k
\end{gather*}

수열 $ \left\{ a_n \right\} $이

\begin{gather*}
a_1 = 1, \ \ \ a_{n+1} = a_n + n \ \ (n = 1, \ 2, \ 3, \ \cdots)
\end{gather*}

를 만족할 때, 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 일반항을 구하여라.

수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 계차수열을 $ \left\{ b_n \right\} $이라 하면

\begin{gather*}
b_n = a_{n+1} – a_n = n
\end{gather*}

입니다. 따라서 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 일반항은

\begin{align*}
a_n &= a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k \\
&= 1 + \frac{(n-1) \times n}{2} \\
&= \frac{n^2 – n + 2}{2}
\end{align*}

입니다.