수학 강좌 | 고등학교 > 다항식 > 복이차식의 인수분해

차수가 짝수인 항과 상수항만으로 이루어진 다항식을 복이차식이라고 합니다. 예를 들어

\begin{gather*}
x^6 + 2x^4 – 3x^2 – 1
\end{gather*}

같은 게 복이차식이죠.

복이차식의 인수분해 방식은 두 가지에요. 첫번째는 $ x^2 = t $로 치환하는 것이고, 두번째는 $ A^2 – B^2 $의 꼴로 변형하는 거에요. 두번째 방법을 잘 기억해야해요.

$ x^4 – 2x^2 – 3 $을 인수분해하여라.

$ x^2 = t $로 치환하면 $ t^2 – 2t – 3 $이고, 인수분해하면

\begin{gather*}
(t+1)(t-3)
\end{gather*}

입니다. $ t = x^2 $을 대입하면

\begin{gather*}
(x^2 + 1)(x^2 – 3)
\end{gather*}

$ x^4 + 4x^2 + 16 $을 인수분해하여라.

$ x^2 = t $로 치환해도 인수분해가 되지 않으므로 $ A^2 – B^2 $의 꼴로 바꿉니다.

$ 4x^2 $을 $ 8x^2 $ 또는 $ -8x^2 $으로 만들면 되는데, $ A^2 – B^2 $의 꼴이 되려면 $ 8x^2 $으로 맞춰야 합니다.

\begin{align*}
( x^4 + 8x^2 + 16 ) – 4x^2 &= (x^2 + 4)^2 – (2x)^2 \\
&= (x^2 + 2x + 4)(x^2 – 2x + 4)
\end{align*}

$ x^4 – 6x^2 + 1 $을 인수분해하여라.

$ A^2 – B^2 $의 꼴로 바꿉니다.

\begin{align*}
x^4 – 6x^2 + 1 &= x^4 – 2x^2 + 1 – 4x^2 \\
&= (x^2 – 1)^2 – (2x)^2 \\
&= (x^2 + 2x – 1)(x^2 – 2x – 1)
\end{align*}