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삼각형의 넓이를 구하는 공식은 여러 가지가 있어요. 주어진 자료에 따라 사용할 수 있는 공식이 달라져요.

밑변의 길이와 높이가 주어질 때

삼각형의 밑변의 길이 $ a $와 높이 $ h $가 주어지면 넓이 $ S $는 다음과 같이 계산해요.

\begin{gather*}
S = \frac{1}{2} ah
\end{gather*}

초등학교에서 배우는 공식이에요.

두 변의 길이와 끼인 각이 주어질 때

삼각형의 두 변의 길이 $ a $, $ b $와 끼인 각의 크기 $ \theta $가 주어졌다면 넓이 S는 다음과 같이 계산해요.

\begin{gather*}
S = \frac{1}{2} ab \sin x
\end{gather*}

밑변을 $ a $라 했을 때 높이는 $ b \sin x $가 되고, 밑변을 $ b $라 했을 때 높이는 $ a \sin x $가 되서 위 공식이 만들어져요.

중학교 3학년 때 삼각비를 공부할 때 나오는 공식입니다.

세 변의 길이와 내접원의 반지름이 주어질 때

삼각형의 세 변의 길이 $ a $, $ b $, $ c $와 내접원의 반지름의 길이 $ r $이 주어졌다면 삼각형의 넓이 $ S $는 다음과 같아요.

\begin{gather*}
S = \frac{1}{2}r(a+b+c)
\end{gather*}

중학교 2학년 때 삼각형의 외심과 내심을 공부할 때 나오는 공식입니다.

세 변의 길이가 주어질 때

삼각형의 세 변의 길이 $ a $, $ b $, $ c $가 주어졌다면 넓이 $ S $는 다음과 같이 계산해요.

\begin{gather*}
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ \ \left( s = \frac{a+b+c}{2} \right)
\end{gather*}

헤론의 공식(Heron’s Formula)이라고 합니다. 고등학교 교과서에 간혹 소개되는데, 자주 사용하는 공식은 아니에요.