중복순열, 중복조합, 집합의 분할, 자연수의 분할 비교

집합의 분할을 공부하면 이해가 되고 문제가 풀려요. 자연수의 분할을 공부할 때도 이해가 되고 문제가 풀려요. 그런데, 집합의 분할과 자연수의 분할 문제가 섞여서 나오면 어떤 걸로 풀어야 하는지 헷갈려요. 거기에 중복순열과 중복조합까지 섞이면 더더욱 어려워집니다.

중복순열, 중복조합, 집합의 분할, 자연수의 분할의 구분하는 기준은 서로 같은 걸 나누는지 서로 다른 걸 나누는지, 서로 같은 곳에 넣는지 서로 다른 곳에 넣는지, 빈 주머니가 있는지 없는지입니다.

다음은 각 상황에 따라 어떤 걸 써야 하는지를 적어둔 거에요. 외우기보다는 왜 그렇게 하는지 잘 이해해두는 것이 좋아요.

  • 서로 같은 $ n $개의 구슬을 서로 같은 $ r $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수 (단, 빈 주머니는 없다.) $ \ \ \Longrightarrow \ \ P(n, \ r) $
  • 서로 같은 $ n $개의 구슬을 서로 다른 $ r $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수 (단, 빈 주머니가 있을 수도 있다.) $ \ \ \Longrightarrow \ \ \phantom{}_{r}\mathrm{H}_{n} $
  • 서로 다른 $ n $개의 구슬을 서로 같은 $ r $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수 (단, 빈 주머니는 없다.) $ \ \ \Longrightarrow \ \ S(n, \ r) $
  • 서로 다른 $ n $개의 구슬을 서로 다른 $ r $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수 (단, 빈 주머니가 있을 수도 있다.) $ \ \ \Longrightarrow \ \ \phantom{}_{r}{\Pi}_{n} $

다음 물음에 답하여라.

  1. 서로 같은 $ 8 $개의 구슬을 서로 같은 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니는 없다.)
  2. 서로 같은 $ 8 $개의 구슬을 서로 같은 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니가 있을 수도 있다.)
  3. 서로 같은 $ 8 $개의 구슬을 서로 다른 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니가 있을 수도 있다.)
  4. 서로 같은 $ 8 $개의 구슬을 서로 다른 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니는 없다.)
  5. 서로 다른 $ 6 $개의 구슬을 서로 같은 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니는 없다.)
  6. 서로 다른 $ 6 $개의 구슬을 서로 다른 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니는 없다.)
  7. 서로 다른 $ 6 $개의 구슬을 서로 다른 $ 3 $개의 주머니에 나누어 담는 방법의 수를 구하여라. (단, 빈 주머니가 있을 수도 있다.)
  1. $ P(8, \ 3) = 5 $
  2. $ P(8, \ 1) + P(8, \ 2) + P(8, \ 3) = 1 + 4 + 5 = 10 $
  3. $ \phantom{}_{3}\mathrm{H}_{8} = 36 $
  4. $ \phantom{}_{3}\mathrm{H}_{5} = 21 $
  5. $ S(6, \ 3) = 90 $
  6. $ S(6, \ 3) \times 3! = 540 $
    [별해]
    주머니를 A, B, C라 하자.
    빈 주머니를 허용할 때 경우의 수는 $ \phantom{}_{3}{\Pi}_{6} = 729 $
    A와 B 또는 B와 C 또는 C와 A에 빈 주머니 없이 담는 경우의 수는
    $ \left( \phantom{}_{2}{\Pi}_{6} – 2 \right) \times 3 = 62 \times 3 = 186 $
    A 또는 B 또는 C에만 담는 경우의 수는 $ 3 $
    $ \therefore \ \ 729 – 186 – 3 = 540 $
  7. $ \phantom{}_{3}{\Pi}_{6} = 729 $