수학 강좌 | 고등학교 > 수열 > 조화수열과 조화중항
고등학교 수열 단원에서 공부하는 하는 수열 중 이름이 있는 수열은 등차수열과 등비수열이에요. 조화수열은 배우지 않지만 많은 참고서나 문제집에 소개되거나 문제로 나오기 때문에 공부를 할까 말까 고민될 거에요. 교과서에 없거나 학교 수업 시간에 배우지 않았다면 굳이 알 필요가 없다고 생각하는데, 만약 불안하다면 공부하는 것도 괜찮아요. 왜냐하면 어렵지 않거든요.
조화수열
역수를 취했을 때 등차수열이 되는 수열을 조화수열이라고 해요. 예를 들어 수열 $ \left\{ a_n \right\} $이
\begin{gather*}
\frac{1}{2}, \ \ \frac{1}{4}, \ \ \frac{1}{6}, \ \ \frac{1}{8}, \ \ \cdots
\end{gather*}
일 때, 각 항을 역수로 만들면
\begin{gather*}
2, \ \ 4, \ \ 6, \ \ 8, \ \ \cdots
\end{gather*}
로 첫째항이 $ 2 $, 공차가 $ 2 $인 등차수열이므로 수열 $ \left\{ a_n \right\} $은 조화수열입니다.
조화수열의 일반항은 역수의 일반항을 구한 다음에 다시 역수를 취하면 됩니다. 위의 예에서 역수의 일반항이 $ 2n $이므로 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 일반항은
\begin{gather*}
a_n = \frac{1}{2n}
\end{gather*}
입니다.
조화중항
세 수 $ a $, $ x $, $ b $가 차례대로 조화수열을 이룰 때 $ x $를 조화중항이라고 합니다.
\begin{gather*}
\frac{1}{a}, \ \ \frac{1}{x}, \ \ \frac{1}{b}
\end{gather*}
가 등차수열이므로
\begin{gather*}
\frac{2}{x} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}
\end{gather*}
이고, 이를 정리하면
\begin{gather*}
x = \frac{2ab}{a+b}
\end{gather*}
가 됩니다.
등차중항, 등비중항, 조화중항의 대소 관계
두 양수 $ a $, $ b $의 등차중항, 등비중항, 조화중항의 대소관계는 다음과 같습니다.
\begin{gather*}
\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \geq \frac{2ab}{a+b}
\end{gather*}
증명은 직접 해보세요.^^ 차가 $ 0 $ 이상임을 보여주면 됩니다.
