수학 강좌 | 고등학교 > 방정식과 부등식 > 이차방정식의 판별식

계수가 실수인 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 근은

\begin{gather*}
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

입니다. 여기서 근이 실근인지 허근인지는 근호 안의 식 $ b^2 – 4ac $의 부호에 의해서 결정됩니다.

$ b^2 – 4ac > 0 $이면

\begin{gather*}
x = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \ \ \textrm{또는} \ \ x = \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

서로 다른 두 개의 실근을 가집니다. $ b^2 – 4ac = 0 $이면

\begin{gather*}
x = \frac{-b}{2a}
\end{gather*}

이므로 근을 하나 갖는데, 이를 중근 또는 서로 같은 두 실근이라고 표현합니다. $ b^2 – 4ac < 0 $이면

\begin{gather*}
x = \frac{-b + \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \ \ \textrm{또는} \ \ x = \frac{-b – \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\end{gather*}

인데, $ \sqrt{b^2 – 4ac} $가 허수이므로, 서로 다른 두 허근을 가집니다.

이와 같이 $ b^2 – 4ac $의 부호에 따라 주어진 이차방정식의 근을 판별할 수 있으므로 $ b^2 -4ac $를 이차방정식 $ ax^2 + bx + c = 0 $의 판별식이라 하고, 보통 기호 $ D $로 나타냅니다. ($ D $는 판별식을 뜻하는 영어 Discriminant의 첫 글자를 따온 것입니다.)

이차방정식이 $ ax^2 + 2b’x + c = 0 $의 꼴이라면 판별식은

\begin{gather*}
D = 4b’^2 – 4ac
\end{gather*}

이고, 양변을 $ 4 $로 나누면

\begin{gather*}
D/4 = b’^2 – ac
\end{gather*}

가 됩니다. $ D $와 $ D/4 $의 부호는 같으므로 일차항의 계수가 짝수라면 $ D/4 $를 사용해도 됩니다.

이차방정식의 판별식

계수가 실수인 이차방정식 $ ax^2+bx+c=0 $에서 $ b^2-4ac $를 판별식이라 하고, $ D $로 나타낸다.

\begin{gather*}
D = b^2 – 4ac, \ \ D/4 = b’^2 – ac \ (\textrm{단,} \ b=2b’)
\end{gather*}

이차방정식의 근의 판별

계수가 실수인 이차방정식의 판별식의 부호에 따라 다음과 같이 근을 갖는다.

$ {D} > 0 \ \Longleftrightarrow \ $ 서로 다른 두 실근

$ {D} = 0 \ \Longleftrightarrow \ $ 서로 같은 두 실근 (중근)

$ {D} < 0 \ \Longleftrightarrow \ $ 서로 다른 두 허근

판별식으로 이차방정식의 근이 실근인지 허근인지 판별하기 위해서는 계수가 실수이어야 한다는 것에 주의합니다. 예를 들어

\begin{gather*}
x^2 + ix -1 = 0
\end{gather*}

의 판별식은

\begin{gather*}
D = i^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 3
\end{gather*}

으로 $ 0 $보다 크지만, 근을 구하면

\begin{gather*}
x = \frac{-i \pm \sqrt{3}}{2}
\end{gather*}

으로 허근을 갖습니다.