수학 강좌 | 고등학교 > 방정식과 부등식 > 삼차방정식의 근과 계수의 관계
교육과정 외
이차방정식의 근과 계수의 관계는 중학교 수학 교육과정에 포함되어 있지 않아요. 교과서에도 없고 시험에도 출제되면 안됩니다. 그런데 문제집이나 참고서에는 근과 계수의 관계를 설명하고 문제를 만들어두었어요. 이걸 중학생이 공부해야 할까요?
삼차방정식의 근과 계수의 관계도 마찬가지에요. 고등학교 수학 교육과정에는 포함되어 있지 않지만 문제집에는 잔뜩 문제가 있어요. 알면 좋긴 하겠지만, 쓸 데 없이 공부양만 늘어나요. 그렇다고 문제집에 있는데 안하기도 그렇고... 문제집을 만드는 회사도 혹시나 시험에 나올까봐 안 넣기도 그렇고, 어려울 수록 인기가 많으니 일부러 넣기도 하고...
수험생은 어떻게 해야 할까요? 다른 부분의 공부가 다 끝났다면 가볍게 공식 정도만 외워두세요. 그리 어려운 공식은 아니에요. 그리고 학교 선생님에게 여쭈어보세요. 시험에 나오냐고...
삼차방정식의 근과 계수의 관계
$ x $에 관한 삼차방정식 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $의 세 근을 $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $라고 하면
\begin{gather*}
a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=0
\end{gather*}
으로 인수분해할 수 있어요. 이 식을 전개하면
\begin{gather*}
ax^3 - a (\alpha+\beta+\gamma)x^2 + a( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha )x - a \alpha \beta \gamma = 0
\end{gather*}
이 되고 $ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $과 같아야 해요. 따라서
\begin{gather*}
- a (\alpha+\beta+\gamma) = b, \ \ a( \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha ) = c, \ \ - a \alpha \beta \gamma = d
\end{gather*}
가 성립하고, 정리하면 삼차방정식의 근과 계수의 관계가 나옵니다.
\begin{gather*}
\alpha+\beta+\gamma = - \frac{b}{a}, \ \ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a}, \ \ \alpha \beta \gamma = - \frac{d}{a}
\end{gather*}
중근
이차방정식의 근과 계수의 관계와 마찬가지로 중근은 서로 다른 근으로 봅니다.
예를 들어 $ x $에 관한 방정식 $ x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = 0 $의 근은
\begin{gather*}
(x-1)(x-1)(x-1)=0
\end{gather*}
이므로, $ 1 $, $ 1 $, $ 1 $ 세 개로 봐야 해요. 그래야 근과 계수의 관계에 의한 세 근의 합
\begin{gather*}
- \frac{b}{a} = - \frac{-3}{1} = 3
\end{gather*}
과 같아집니다.
허근
근은 허근도 포함해요. 실근만 더하거나 곱하는 게 아닙니다.
예를 들어 $ x $에 관한 방정식 $ x^3 - 8 = 0 $의 근은
\begin{gather*}
(x-2)(x^2+2x+4)=0
\end{gather*}
이므로, $ 2 $, $ -1+\sqrt{3}i $, $ -1-\sqrt{3}i $입니다. 허근을 포함하여 세 근을 더해야 근과 계수의 관계에 의한 세근의 합
\begin{gather*}
- \frac{b}{a} = - \frac{0}{1} = 0
\end{gather*}
과 같아져요.
