수학 강좌 | 고등학교 > 벡터 > 벡터의 내적의 정의

두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $가 이루는 각의 크기를 $ \theta $($ 0 \leq \theta \leq \pi $)라고 할 때

\begin{gather*}
|\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta
\end{gather*}

를 $ \overrightarrow{a} $와 $ \overrightarrow{b} $의 내적이라고 하고, $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} $로 나타냅니다.

만약 $ \overrightarrow{a} = \overrightarrow{0} $ 또는 $ \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0} $이라면 $ \theta $를 정할 수 없으므로, $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 $으로 정의합니다.

$ |\overrightarrow{a}| = 3 $, $ |\overrightarrow{b}| = 6 $인 두 벡터 $ \overrightarrow{a} $, $ \overrightarrow{b} $가 이루는 각의 크기가 $ \dfrac{\pi}{3} $일 때, 내적 $ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} $를 구하여라.

$ \cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2} $이므로

\begin{gather*}
\overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos \theta = 3 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2} = 9
\end{gather*}

벡터의 내적은 벡터를 포함한 연산이지만, $ |\overrightarrow{a}| $, $ |\overrightarrow{b}| $, $ \cos \theta $가 모두 실수이므로, 벡터의 내적도 실수입니다.

벡터의 내적의 부호는 $ \theta $에 따라 달라집니다.

\begin{align*}
0 \leq \theta < \frac{\pi}{2} \ \ &\Longrightarrow \ \ \cos \theta > 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} > 0 \\
\theta = \frac{\pi}{2} \ \ &\Longrightarrow \ \ \cos \theta = 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} = 0 \\
\frac{\pi}{2} < \theta \leq \pi \ \ &\Longrightarrow \ \ \cos \theta < 0 \ \ \Longrightarrow \ \ \overrightarrow{a} \bullet \overrightarrow{b} < 0
\end{align*}

즉, 벡터의 내적의 부호만 알면 두 벡터가 이루는 각이 예각인지 둔각인지 알 수 있습니다. 특히 내적이 $ 0 $이면 직각이라는 것은 아주 중요합니다.