수학 강좌 | 고등학교 > 이차곡선 > 타원의 방정식

보통 좀 찌그러진 원을 타원이라고 해요. 그런데 수학에서 찌그러진 원이라고 할 수 없죠. 정확한 타원의 정의는 평면 위의 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 자취입니다.

타원의 방정식의 표준형

두 점 $ \mathrm{F}(k, \ 0) $, $ \mathrm{F’}(-k, \ 0) $으로부터의 거리의 합이 $ 2a $인 타원의 방정식을 만들어 보겠습니다. 타원 위의 임의의 점을 $ (x, \ y) $라 할 때, 거리의 합이 $ 2a $가 되어야 하므로 다음 식이 성립합니다. (단, $ a > k > 0 $)

\begin{gather*}
\sqrt{(x-k)^2+y^2} + \sqrt{(x+k)^2+y^2} = 2a \\
\therefore \ \sqrt{(x-k)^2+y^2} = 2a – \sqrt{(x+k)^2+y^2}
\end{gather*}

양변을 제곱하여 정리하면

\begin{align*}
a \sqrt{(x-k)^2+y^2} = a^2-kx
\end{align*}

이고, 다시 양변을 제곱하여 정리하면

\begin{align*}
(a^2-k^2) x^2 + a^2 y^2 = a^2 (a^2-k^2)
\end{align*}

입니다. $ a^2 – k^2 = b^2 \ (b>0) $으로 놓고 정리하면

\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a>b>0, \ b^2 = a^2-k^2)
\end{align*}

이 됩니다. 이를 타원의 방정식 표준형이라고 합니다.

$ x $에 $ -x $를 대입해도, $ y $에 $ -y $를 대입해도 식이 변하지 않으므로, 위 타원은 $ x $축, $ y $축, 원점에 대하여 대칭이고, 이를 좌표평면에 나타내면 다음과 같은 모양이 됩니다.

두 정점 $ \mathrm{F} $와 $ \mathrm{F’} $을 초점이라 하고, 선분 $ \mathrm{AA’} $, $ \mathrm{BB’} $을 축이라 합니다. 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 하고, 장축과 단축이 만나는 교점을 타원의 중심이라 합니다. 타원과 두 축이 만나는 네 점을 타원의 꼭지점이라고 합니다.

 

마찬가지 방식으로 $ y $축 위의 두 점 $ (0, \ k) $, $ (0, \ -k) $로부터의 거리의 합이 $ 2b $인 타원의 방정식을 구하면 다음과 같습니다.

\begin{align*}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ (b>a>0, \ a^2 = b^2-k^2)
\end{align*}

$ x $축 위에 초점이 있는 타원의 방정식과 같은 꼴이지만, $ k $의 의미가 다르고, 장축과 단축이 바뀐다는 것에 주의를 해야 합니다.

타원의 방정식의 표준형

두 점 $ \mathrm{F}(k, \ 0) $, $ \mathrm{F’}(-k, \ 0) $으로부터의 거리의 합이 $ 2a $인 타원의 방정식

\begin{gather*}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a>b>0, \ \ b^2 = a^2-k^2)
\end{gather*}

두 점 $ \mathrm{F}(0, \ k) $, $ \mathrm{F’}(0, \ -k) $로부터의 거리의 합이 $ 2b $인 타원의 방정식

\begin{gather*}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (b>a>0, \ \ a^2 = b^2-k^2)
\end{gather*}

두 점 $ (4, \ 0) $, $ (-4, \ 0) $으로부터의 거리의 합이 $ 10 $인 점의 자취의 방정식을 구하여라.

$ k=4 $, $ a=5 $이므로 $ b^2=5^2 – 4^2 = 9 $입니다. 따라서 타원의 방정식은

\begin{gather*}
\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1
\end{gather*}

두 점 $ (0, \ 2) $, $ (0, \ -2) $으로부터의 거리의 합이 $ 6 $인 점의 자취의 방정식을 구하여라.

$ k=2 $, $ b=3 $이므로 $ a^2=3^2 – 2^2 = 5 $입니다. 따라서 타원의 방정식은

\begin{gather*}
\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{9} = 1
\end{gather*}

타원의 평행이동

타원을 $ x $축의 방향으로 $ m $만큼 평행이동하면 $ x $ 대신에 $ x-m $, $ y $축의 방향으로 $ n $만큼 평행이동하면 $ y $ 대신에 $ y-n $을 대입하면 돼요.

타원을 평행이동했을 때 장축의 길이, 단축의 길이는 변하지 않지만, 중심의 좌표, 꼭짓점의 좌표는 그만큼 이동합니다.

타원의 평행이동

타원

\begin{gather*}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \ \ (a>0, \ b>0)
\end{gather*}

을 $ x $축 방향으로 $ m $, $ y $축 방향으로 $ n $만큼 평행이동시킨 타원의 방정식은

\begin{gather*}
\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1
\end{gather*}

타원의 방정식의 일반형

타원의 방정식

\begin{gather*}
\frac{(x-m)^2}{a^2} + \frac{(y-n)^2}{b^2} = 1
\end{gather*}

을 전개하면 다음과 같은 꼴이 돼요.

\begin{gather*}
Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \ \ (\textrm{단}, \ AB>0, \ A \neq B)
\end{gather*}

이것을 타원의 방정식의 일반형이라고 합니다.

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