행렬 | 케일리 헤밀턴 정리

케일리 헤밀턴 정리는 고등학교 수학 교육과정에 공식적으로 포함된 것은 아닙니다. 하지만 케일리 헤밀턴 정리라는 이름만 알려주지 않을 뿐 많은 교과서에서 공식을 소개하고 있습니다.

케일리 헤밀턴 정리를 몰라도 풀 수 있도록 문제가 출제되지만, 만약 정리를 알고 있다면 쉽게 풀 수 있는 경우가 있습니다. 따라서 고등학교 수학에서 알면 좋고 몰라도 상관없는 정리라고 할 수 있습니다.

케일리 헤밀턴 정리

케일리 헤밀턴 정리의 내용은 다음과 같습니다.

이차정사각행렬

\begin{gather*}
\mathrm{A}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \ \ \mathrm{E}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
\end{gather*}

에 대하여

\begin{gather*}
\mathrm{A}^2 – (a+d)\mathrm{A} + (ad-bc)\mathrm{E} = \mathrm{O}
\end{gather*}

이 성립한다.

증명은 간단합니다. 행렬 $ \mathrm{A} $와 $ \mathrm{E} $의 성분을 좌변에 넣어 정리하면 영행렬이 됩니다.

주의할 점

케일리 헤밀턴 정리에서 주의할 점은 역은 성립하지 않는다는 것입니다. 즉,

\begin{gather*}
\mathrm{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \ \ \longrightarrow \ \ \mathrm{A}^2 – 3\mathrm{A} + 2\mathrm{E} = \mathrm{O}
\end{gather*}

은 참이나

\begin{gather*}
\mathrm{A}^2 – 3\mathrm{A} + 2\mathrm{E} = \mathrm{O} \ \ \longrightarrow \ \ \mathrm{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\end{gather*}

는 거짓입니다. 왜냐하면 $ \mathrm{A = E} $, $ \mathrm{A = 2E} $일 때도 $ \mathrm{A}^2 – 3\mathrm{A} + 2\mathrm{E} = \mathrm{O} $이 성립하기 때문입니다.

$ \mathrm{A}^2 – 3\mathrm{A} + 2\mathrm{E} = \mathrm{O} $를 만족하는 행렬 $ \mathrm{A} $는 $ \mathrm{A} \neq k\mathrm{E} $일 때와 $ \mathrm{A} = k\mathrm{E} $일 때 두가지로 구분하여 구합니다. (단, $ k $는 상수)

$ \mathrm{A} \neq k\mathrm{E} $일 때

\begin{gather*}
\mathrm{A}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}
\end{gather*}

가 구해지고, $ \mathrm{A} = k\mathrm{E} $라면

\begin{gather*}
k^2 \mathrm{E} – 3k \mathrm{E} + 2\mathrm{E} = \mathrm{O}, \ \ ( k^2 – 3k + 2 )\mathrm{E} = \mathrm{O} \\
(k-1)(k-2)\mathrm{E} = \mathrm{O} \ \ \therefore \ \ k=1, \ 2
\end{gather*}

이므로 $ \mathrm{A = E} $, $ \mathrm{A = 2E} $입니다.

행렬 $ \mathrm{A}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} $는 $ \mathrm{A}^2 – 4\mathrm{A} + 3\mathrm{E} = \mathrm{O} $을 만족한다. 이 때 $ a+d $의 값을 모두 구하여라.

$ \mathrm{A} \neq k\mathrm{E} $일 때 케일리 헤밀턴 정리에 의하여 $ a+d=4 $입니다.

$ \mathrm{A} = k\mathrm{E} $일 때

\begin{gather*}
k^2 \mathrm{E} – 4k \mathrm{E} + 3\mathrm{E} = \mathrm{O}, \ \ ( k^2 – 4k + 3 )\mathrm{E} = \mathrm{O} \\
(k-1)(k-3)\mathrm{E} = \mathrm{O} \ \ \therefore \ \ k=1, \ 3
\end{gather*}

이므로 $ \mathrm{A = E} $, $ \mathrm{A = 3E} $입니다. $ \mathrm{A = E} $일 때 $ a+d=2 $이고, $ \mathrm{A = 3E} $일 때 $ a+d=6 $입니다.

따라서 $ a+d $의 값은 $ 4 $, $ 2 $, $ 6 $이 될 수 있습니다.

활용

케일리 헤밀턴 정리가 유용한 경우는 다음의 세가지입니다.

  • $ a+d=0 $
  • $ ad-bc=0 $
  • $ a+d=\pm 1 $, $ ad-bc=1 $

행렬 $ \mathrm{A}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 2 & -2 \end{pmatrix} $일 때, $ \mathrm{A^4} $의 모든 성분의 합을 구하여라.

케일리 헤밀턴 정리에 의하여

\begin{gather*}
\mathrm{A^2 – 6E = O \ \ \therefore \ \ A^2 = 6E}
\end{gather*}

입니다. 따라서 $ \mathrm{A^4 = 36E} $이고 모든 성분의 합은 $ 72 $입니다.

행렬 $ \mathrm{A}=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $일 때, $ \mathrm{A^4} $의 모든 성분의 합을 구하여라.

케일리 헤밀턴 정리에 의하여

\begin{gather*}
\mathrm{A^2 – 3A = O \ \ \therefore \ \ A^2 = 3A}
\end{gather*}

입니다. 따라서 $ \mathrm{A^4 = 9A^2 = 27A} $이고, $ \mathrm{A} $의 모든 성분의 합이 $ 6 $이므로, $ \mathrm{27A} $의 모든 성분의 합은 $ 162 $입니다.

행렬 $ \mathrm{A}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} $일 때, $ \mathrm{A^6} $의 모든 성분의 합을 구하여라.

케일리 헤밀턴 정리에 의하여

\begin{gather*}
\mathrm{A^2 – A + E = O}
\end{gather*}

이고, 양변에 $ \mathrm{A+E} $를 곱하면

\begin{gather*}
\mathrm{A^3 + E = O, \ \ A^3 = -E \ \ \therefore \ \ A^6 = E}
\end{gather*}

입니다. 따라서 $ \mathrm{A^6} $의 모든 성분의 합은 $ 2 $입니다.