헤론의 공식(Heron’s Formula) – 삼각형의 세 변의 길이로 넓이 구하기

헤론의 공식(Heron’s Formula)은 삼각형의 넓이를 구하는 공식 중의 하나로, 고대 그리스의 수학자 헤론이 만들었다고 합니다. 헤론의 공식을 이용하면 삼각형의 세 변의 길이만 가지고 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

삼각형의 두 변의 길이 $ a $, $ b $와 끼인각 $ \mathrm{C} $의 크기를 알 때 삼각형의 넓이 $ \mathrm{S} $는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\begin{gather*}
\mathrm{S} = \frac{1}{2} ab \sin \mathrm{C}
\end{gather*}

$ \sin^2 \mathrm{C} + \cos^2 \mathrm{C} = 1 $이고, 제2코사인법칙에 의해서 $ \cos \mathrm{C} $는

\begin{gather*}
\cos \mathrm{C} = \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab}
\end{gather*}

이므로 $ \sin \mathrm{C} $는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\begin{gather*}
\sin \mathrm{C} = \sqrt{1 – \cos^2 \mathrm{C}} = \sqrt{1 – \left( \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \right)^2}
\end{gather*}

이를 삼각형의 넓이를 구하는 공식에 대입합니다.

\begin{gather*}
\mathrm{S} = \frac{1}{2} ab \sqrt{1 – \left( \frac{a^2 + b^2 – c^2}{2ab} \right)^2}
\end{gather*}

$ a+b+c=2s $로 치환한 후 정리하면 다음과 같이 헤론의 공식이 만들어집니다.

\begin{gather*}
\mathrm{S} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \ \ \left( s = \frac{a+b+c}{2} \right)
\end{gather*}

삼각형의 세 변의 길이가 각각 $ 4 $, $ 4 $, $ 6 $일 때 삼각형의 넓이를 구하여라.

세 변 길이의 합의 절반인 $ s $를 먼저 구합니다.

\begin{gather*}
s = \frac{4+4+6}{2} = 7
\end{gather*}

삼각형의 넓이 $ \mathrm{S} $는 다음과 같습니다.

\begin{gather*}
\mathrm{S} = \sqrt{7(7-4)(7-4)(7-6)} = 3 \sqrt{7}
\end{gather*}