수학 강좌 | 고등학교 > 수열 > 수열의 합과 일반항의 관계
수열 $ \{ a_n \} $의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합을 $ \mathrm{S}_{n} $이라 하면, $ \mathrm{S}_{n} $은 다음과 같이 나타낼 수 있어요.
\begin{gather*}
\mathrm{S}_{n} = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1} + a_n
\end{gather*}
마찬가지로 $ \mathrm{S}_{n-1} $은 다음과 같아요.
\begin{gather*}
\mathrm{S}_{n-1} = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{n-1}
\end{gather*}
두 식을 변변 빼면 다음의 결과를 얻습니다.
\begin{gather*}
\mathrm{S}_{n} - \mathrm{S}_{n-1} = a_n
\end{gather*}
수열의 합의 식을 알고 있다면 수열의 일반항을 구할 수 있다는 뜻이에요.
주의할 점은 위 식으로 수열의 첫째항은 구할 수 없다는 것입니다. $ n $에 $ 1 $을 대입하면
\begin{gather*}
a_1 = \mathrm{S}_{1} - \mathrm{S}_{0}
\end{gather*}
이 되는데, $ \mathrm{S}_{0} $은 존재하지 않기 때문이에요. 수열의 첫째항은 수열의 첫째항까지의 합과 같으므로
\begin{gather*}
a_1 = \mathrm{S}_{1}
\end{gather*}
로 구합니다.
수열의 일반항과 수열의 합의 관계
수열 $ \{ a_n \} $의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합을 $ \mathrm{S}_{n} $이라 하면
\begin{gather*}
a_1 = \mathrm{S}_{1}, \ \ a_n = \mathrm{S}_{n} - \mathrm{S}_{n-1} \ \ (n= 2, \ 3, \ 4, \ \cdots)
\end{gather*}
수열 $ \{ a_n \} $의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합 $ \mathrm{S}_{n} $은 다음과 같다.
\begin{gather*}
\mathrm{S}_{n} = n^2
\end{gather*}
수열 $ \{ a_n \} $의 일반항을 구하여라.
$ a_n = \mathrm{S}_{n} - \mathrm{S}_{n-1} $이므로
\begin{gather*}
a_n = n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1
\end{gather*}
입니다. $ a_1 = \mathrm{S}_{1} = 1 $인데, $ 2n-1 $에서 $ n $에 1을 대입해도 같은 결과가 나오므로, 수열 $ \{ a_n \} $의 일반항은
\begin{gather*}
a_n = 2n - 1 \ \ (n=1, \ 2, \ 3, \ \cdots)
\end{gather*}
수열 $ \{ a_n \} $의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합 $ \mathrm{S}_{n} $은 다음과 같다.
\begin{gather*}
\mathrm{S}_{n} = n^2 + 1
\end{gather*}
수열 $ \{ a_n \} $의 일반항을 구하여라.
$ a_n = \mathrm{S}_{n} - \mathrm{S}_{n-1} $이므로
\begin{gather*}
a_n = \left\{ n^2 +1 \right\} - \left\{ (n-1)^2 + 1 \right\} = 2n - 1
\end{gather*}
입니다. $ a_1 = \mathrm{S}_{1} = 2 $인데, $ 2n-1 $에서 $ n $에 $ 1 $을 대입하면 다른 결과가 나옵니다. 따라서 수열 $ \{ a_n \} $의 일반항은
\begin{gather*}
a_1 = 2, \ a_n = 2n - 1 \ \ (n=2, \ 3, \ 4, \ \cdots)
\end{gather*}
