수학 강좌 | 고등학교 > 함수 > 유리함수의 역함수 공식
어떤 함수의 역함수를 구하는 순서는 다음과 같아요.
- $ x $에 관하여 푼다.
- $ x $를 $ y $로, $ y $를 $ x $로 바꾼다.
순서를 바꿔서
- $ x $를 $ y $로, $ y $를 $ x $로 바꾼다.
- $ y $에 관하여 푼다.
로 해도 상관앖어요. 편한 방식으로 하면 돼요.
분수함수도 마찬가지 방식으로 역함수를 구합니다. 그런데 그 결과가 특이해요.
분수함수
\begin{gather*}
y = \frac{ax+b}{cx+d}
\end{gather*}
의 역함수를 구해볼게요. 일단 $ x $에 관하여 풀어요.
\begin{gather*}
(cx+d)y = ax+b, \ \ (cy-a)x = -dy+b \\
\therefore \ \ x=\frac{-dy+b}{cy-a}
\end{gather*}
이제 $ x $와 $ y $를 서로 바꾸면
\begin{gather*}
y=\frac{-dx+b}{cx-a}
\end{gather*}
이 돼요. 원래 함수와 비교하면 $ a $와 $ d $이 자리가 바뀌고 부호가 바뀌었어요.
이번엔 분수함수
\begin{gather*}
y = \frac{a}{x-m} + n
\end{gather*}
의 역함수를 구해볼게요. $ x $에 관하여 풀면
\begin{gather*}
y-n = \frac{a}{x-m}, \ \ x-m = \frac{a}{y-n} \\
\therefore \ \ x = \frac{a}{y-n} + m
\end{gather*}
$ x $와 $ y $를 서로 바꾸면
\begin{gather*}
y = \frac{a}{x-n} + m
\end{gather*}
이 돼요. 원래 함수와 비교하면 $ m $과 $ n $의 자리가 바뀌었어요.
분수함수의 역함수를 만드는 게 그리 어렵지는 않아서 굳이 외우지 않아도 되지만, 시험볼 때 시간을 아끼려면 알고 있는 게 좋아요. 외우기도 쉽구요.
다시 정리해볼까요?
- $ y = \dfrac{ax+b}{cx+d} $의 역함수는 $ y=\dfrac{-dx+b}{cx-a} $
- $ y = \dfrac{a}{x-m} + n $의 역함수는 $ y =\dfrac{a}{x-n} + m $
