수학 강좌 | 고등학교 > 지수와 로그 > 지수방정식과 로그방정식의 근의 분리

이차방정식의 근의 분리

고$ 1 $ 과정에서 이차방정식의 근의 분리를 공부했어요. 근의 분리란 근이 일정한 조건을 만족하도록 하는 것이에요. 다음과 같은 질문들 익숙하죠?

  • 두 근이 모두 양수가 되도록 하여라.
  • 두 근이 모두 음수가 되도록 하여라.
  • 두 근의 부호가 다르도록 하여라.
  • 두 근이 모두 $ 1 $보다 크도록 하여라.
  • 한 근은 $ 2 $보다 작고, 한 근은 $ 5 $보다 크게 하여라.

$ 0 $이 기준일 때는 판별식, 두 근의 합, 두 근의 곱을 이용하고, $ 0 $이 아닐 때는 판별식, 축, 함숫값을 이용해요.

지수방정식과 로그방정식에서도 근의 분리가 문제로 나와요. $ a^x = t $, $ \log_a x = t $로 치환했을 때 $ t $에 이차방정식이 된다면 문제를 만들 수 있죠.

이 때 $ x $의 범위와 $ t $의 범위가 다르다는 것에 주의를 해야 해요.

지수방정식의 근의 분리

다음과 같은 지수방정식이 있어요.

\begin{gather*}
4^x – 2^{x+2} + k – 2 = 0
\end{gather*}

두 근이 모두 양수가 되도록 상수 $ k $의 값의 범위를 구하는 게 문제에요.

$ 2^x = t $로 치환하면 다음과 같이 $ t $에 관한 이차방정식이 됩니다.

\begin{gather*}
t^2 – 4t + k – 2 = 0
\end{gather*}

$ x>0 $이면 $ 2^x > 1 $이니까, $ x $ 입장에서 두 근이 양수라는 것은 $ t $ 입장에서는 두 근이 $ 1 $보다 크다는 거에요. 따라서 두 근이 $ 1 $보다 클 조건을 구하면 돼요.

두 실근을 갖기 위해서는 판별식이 $ 0 $ 이상이어야 하므로

\begin{gather*}
D/4 = 4 – (k-2) \geq 0 \ \ \ \therefore \ \ k \leq 6
\end{gather*}

$ f(t) = t^2 – 4t + k – 2 $로 놓았을 때 축이 $ 1 $보다 커야 하므로

\begin{gather*}
\textrm{(축)} = 2 > 1
\end{gather*}

$ f(1) $이 $ 0 $보다 커야 하므로

\begin{gather*}
f(1) = 1 – 4 + k-2 > 0 \ \ \ \therefore \ \ k > 5
\end{gather*}

세 조건을 모두 만족하는 $ k $의 범위는

\begin{gather*}
5 < k \leq 6
\end{gather*}

가 되네요.

가장 중요한 것은 $ x $의 범위를 $ t $의 범위로 바꾸어야 한다는 것이에요.

$ x $에 관한 지수방정식

\begin{gather*}
4^x – 2^{x+1} + a – 5 = 0
\end{gather*}

의 한 근은 양수, 한 근은 음수가 되도록 하는 $ a $의 값의 범위를 구하여라.

$ 2^x = t $로 치환하면

\begin{gather*}
t^2 – 2t + a – 5 = 0
\end{gather*}

$ x < 0 $이면 $ 0 < 2^x < 1 $이고, $ x > 0 $이면 $ 2^x > 1 $이다. 따라서 한 근은 $ 0 $보다 크고 $ 1 $보다 작고, 한 근은 $ 1 $보다 커야 한다.

$ f(t) = t^2 – 2t + a – 5 $로 놓았을 때, $ f(0) > 0 $이어야 하므로

\begin{gather*}
f(0) = a-5 > 0 \ \ \ \therefore \ \ a > 5
\end{gather*}

$ f(1) < 0 $이어야 하므로

\begin{gather*}
f(1) = a – 6 < 0 \ \ \ \therefore \ \ a < 6
\end{gather*}

따라서 $ 5 < a < 6 $이다.

로그방정식의 근의 분리

다음과 같은 로그방정식이 있어요.

\begin{gather*}
\left( \log_2 x \right)^2 – 4 \log_2 x + k = 0
\end{gather*}

두 근이 모두 $ 1 $보다 크도록 상수 $ k $의 값의 범위를 구하는 게 문제에요.

$ \log_2 x = t $로 치환하면 다음과 같이 $ t $에 관한 이차방정식이 됩니다.

\begin{gather*}
t^2 – 4t + k = 0
\end{gather*}

$ x > 1 $이면 $ \log_2 x > 0 $이니까, $ x $ 입장에서 두 근이 $ 1 $보다 크다는 것은 $ t $ 입장에서는 두근이 양수라는 거에요. 따라서 두 근이 양수일 조건을 구하면 돼요.

두 실근을 갖기 위해서는 판별식이 $ 0 $ 이상이어야 하므로

\begin{gather*}
D/4 = 4-k \geq 0 \ \ \ \therefore \ \ k \leq 0
\end{gather*}

두 근의 합이 양수이어야 하므로

\begin{gather*}
\textrm{(두 근의 합)} = 4 > 0
\end{gather*}

두 근의 곱이 양수이어야 하므로

\begin{gather*}
\textrm{(두 근의 곱)} = k > 0
\end{gather*}

세 조건을 모두 만족하는 $ k $의 범위는

\begin{gather*}
0 < k \leq 4
\end{gather*}

가 되네요.

지수방정식의 근의 분리와 마찬가지로, 가장 중요한 것은 $ x $의 범위를 $ t $의 범위로 바꾸어야 한다는 것이에요.