가우스 기호의 정의와 성질
가우스 기호의 정의
$ x $를 넘지 않는 최대의 정수를
\begin{gather*}
[x]
\end{gather*}
와 같이 나타낸 것을 가우스 기호라고 합니다.
예를 들어 $ [1.2] $는 $ 1.2 $를 넘지 않는 최대의 정수이므로
\begin{gather*}
[1.2] = 1
\end{gather*}
이고, $ [4] $는 $ 4 $를 넘지 않는 최대의 정수이므로
\begin{gather*}
[4] = 4
\end{gather*}
입니다. 즉,
\begin{gather*}
n \leq x < n+1 \textrm{일 때} \ \ [x] = n \ \ (\textrm{단, }n\textrm{은 정수})
\end{gather*}
입니다.
$ x $를 넘지 않는 최대의 정수를 $ [x] $라 할 때
\begin{gather*}
[-2.1]
\end{gather*}
의 값을 구하여라.
$ -2.1 $을 넘지 않는 최대의 정수는 $ -3 $이므로, 즉
\begin{gather*}
-3 \leq -2.1 < -2
\end{gather*}
이므로
\begin{gather*}
[-2.1] = -3
\end{gather*}
입니다.
가우스 기호의 성질 1
성질
$ a $가 정수일 때 $ [x + a] = [x] + a $이다.
증명
$ [x] = n $이면 $ n \leq x < n+1 $이고,
\begin{gather*}
n+a \leq x+a < n+1+a
\end{gather*}
입니다. 따라서
\begin{gather*}
[x+a] = n+a
\end{gather*}
이고, $ n = [x] $이므로
\begin{gather*}
[x+a] = [x]+a
\end{gather*}
다음을 만족시키는 실수 $ x $의 값의 범위를 구하여라.
\begin{gather*}
[x] + [x+2] = 6
\end{gather*}
$ [x+2] = [x] + 2 $이므로
\begin{gather*}
[x] + [x] + 2 = 6, \ \ [x] = 2 \\[10px]
\therefore \ \ 2 \leq x < 3
\end{gather*}
가우스 기호의 성질 2
성질
$ x-1 < [x] \leq x $
증명
$ [x] = n $이면 $ n \leq x < n+1 $이고, $ n=[x] $를 대입하면
\begin{gather*}
[x] \leq x < [x] + 1 \ \ \ \therefore \ \ x-1 < [x] \leq x
\end{gather*}
다음 극한값을 구하여라.
\begin{gather*}
\lim_{x \to \infty} \frac{[x]}{x+1}
\end{gather*}
$ x-1 < [x] \leq x $이므로
\begin{gather*}
\frac{x-1}{x+1} < \frac{[x]}{x+1} \leq \frac{x}{x+1}
\end{gather*}
이고
\begin{gather*}
\lim_{x \to \infty} \frac{x-1}{x+1} = 1, \ \ \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x+1} = 1
\end{gather*}
이므로
\begin{gather*}
\lim_{x \to \infty} \frac{[x]}{x+1} = 1
\end{gather*}
입니다.
참고
자연수 $ n $, $ k $에 대하여
\begin{gather*}
\left[ \frac{n}{k} \right]
\end{gather*}
는 $ \dfrac{n}{k} $의 정수부분이므로
- $ n $을 $ k $로 나누었을 때의 몫
- $ n $ 이하의 자연수 중 $ k $의 배수의 개수
로 해석할 수 있습니다.
