수학 강좌 | 고등학교 > 미분 > 이차함수의 평균변화율과 미분계수

이차함수 $ f(x) = ax^2 + bx + c $에서 $ x $의 값이 $ \alpha $에서 $ \beta $까지 변할 때의 평균변화율은

\begin{align*}
\frac{f(\beta) – f(\alpha)}{\beta-\alpha} & = \frac{a \beta^2 + b \beta + c – (a \alpha^2 + b \alpha + c) }{\beta-\alpha} \\
& = \frac{a ( \beta^2 – \alpha^2) + b (\beta – \alpha)}{\beta-\alpha} \\
& = a ( \alpha + \beta ) + b
\end{align*}

입니다.

$ f(x) $의 도함수는 $ f'(x) = 2ax + b $이고, 미분계수를 $ a ( \alpha + \beta ) + b $로 만드는 $ x $의 값은

\begin{gather*}
2ax + b = a ( \alpha + \beta ) + b \ \ \ \therefore \ \ x = \frac{\alpha + \beta}{2}
\end{gather*}

입니다.

따라서 이차함수에서 $ x $의 값이 $ \alpha $에서 $ \beta $까지 변할 때의 평균변화율과 같은 값의 미분계수를 만드는 $ x $의 값은 $ \alpha $와 $ \beta $의 산술평균입니다.

이차함수 $ f(x) = x^2 $에서 $ x $의 값이 $ 1 $에서 $ 3 $까지 변할 때의 평균변화율과 $ x=k $에서의 미분계수는 같다. 상수 $ k $의 값을 구하여라.

$ k = \dfrac{1 + 3}{2} = 2 $

굳이 외울 필요는 없지만, 외운다면 약간의 시간을 절약할 수 있습니다.