사다리꼴, 평행사변형, 마름모의 넓이를 구하는 공식
사다리꼴의 넓이
한 쌍의 대변이 서로 평행한 사각형을 사다리꼴이라 합니다.
사다리꼴의 넓이는 사다리꼴을 삼각형 두 개로 나눈 후, 각 삼각형의 넓이를 합하여 구할 수 있습니다.
사다리꼴 $ ABCD $에 대각선 $ AC $를 그리면, 사다리꼴은 삼각형 $ ACD $와 삼각형 $ ACB $로 나뉘어집니다.
삼각형 $ ACB $의 넓이는
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{AH}
\end{gather*}
이고, 삼각형 $ ACD $의 넓이는
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times \overline{DC} \times \overline{AH}
\end{gather*}
입니다. 두 넓이를 더하면
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{AH} + \frac{1}{2} \times \overline{DC} \times \overline{AH} = \frac{1}{2} \times \left( \overline{AB} + \overline{DC} \right) \times \overline{AH}
\end{gather*}
이고, $ \overline{AB} $는 사다리꼴의 윗변, $ \overline{DC} $는 사다리꼴의 아랫변, $ \overline{AH} $는 사다리꼴의 높이이므로, 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식은
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times \left\{ (\textrm{윗변}) + (\textrm{아랫변}) \right\} \times (\textrm{높이})
\end{gather*}
입니다.
평행사변형의 넓이
평행사변형은 두 쌍의 대변이 각각 평행한 사각형입니다.
평행사변형의 넓이는 사다리꼴의 넓이와 같은 방식으로 구할 수 있습니다.
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times \left( \overline{AB} + \overline{DC} \right) \times \overline{AH}
\end{gather*}
평행사변형 $ ABCD $에서 $ \overline{AB} = \overline{DC} $이므로
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times \left( \overline{DC} + \overline{DC} \right) \times \overline{AH} = \overline{DC} \times \overline{AH}
\end{gather*}
이고, $ \overline{DC} $는 평행사변형의 밑변이므로, 평행사변형의 넓이를 구하는 공식은
\begin{gather*}
(\textrm{밑변}) \times (\textrm{높이})
\end{gather*}
입니다.
마름모의 넓이
마름모는 네 변의 길이가 같은 사각형입니다.
두 대각선의 교점을 $ O $라 하면, 삼각형 $ AOB $, 삼각형 $ BOC $, 삼각형 $ COD $, 삼각형 $ DOA $는 합동입니다.
따라서 마름모의 넓이는 삼각형 $ AOB $의 넓이를 $ 4 $배하여 구할 수 있습니다.
\begin{gather*}
4 \times \frac{1}{2} \times \overline{AO} \times \overline{BO}
\end{gather*}
$ \overline{AO} = \frac{1}{2} \times \overline{AC} $, $ \overline{BO} = \frac{1}{2} \times \overline{DB} $이므로
\begin{gather*}
4 \times \frac{1}{2} \times \left( \frac{1}{2} \times \overline{AC} \right) \times \left( \frac{1}{2} \times \overline{DB} \right) = \frac{1}{2} \times \overline{AC} \times \overline{DB}
\end{gather*}
이고, $ \overline{AC} $와 $ \overline{DB} $는 두 대각선이므로, 마름모의 넓이를 구하는 공식은
\begin{gather*}
\frac{1}{2} \times (\textrm{한 대각선}) \times (\textrm{다른 대각선})
\end{gather*}
입니다.
