교대급수와 교대급수판정법

교대급수(alternating series)

양과 음의 항이 번갈아 나오는 급수를 교대급수라 합니다. 교대급수는 모든 항이 양수인 수열 $ \{ a_n \} $을 이용하여

\begin{gather*}
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n = a_1 – a_2 + a_3 – a_4 + \cdots
\end{gather*}

또는

\begin{gather*}
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_n = – a_1 + a_2 – a_3 + a_4 – \cdots
\end{gather*}

와 같이 나타낼 수 있습니다.

교대급수판정법(alternating series test)

교대급수 $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} a_n \ (a_n > 0) $에 대하여 다음 두 조건을 만족하면 그 급수는 수렴합니다.

  1. 모든 $ n $에 대하여 $ a_n \geq a_{n+1} $
  2. $ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 $

교대급수판정법의 증명

제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합을 $ S_n $이라 하면

\begin{gather*}
S_{2n} = a_1 – a_2 + a_3 – a_4 + a_5 – \cdots – a_{2n-2} + a_{2n-1} – a_{2n}
\end{gather*}

입니다.

\begin{gather*}
S_{2n} – S_{2n-2} = a_{2n-1} – a_{2n} \geq 0 \ \ (\because \ a_n \geq a_{n+1})
\end{gather*}

이므로 $ S_{2n} $은 증가수열입니다. 또한

\begin{gather*}
S_{2n} = a_1 – ( a_2 – a_3 ) – ( a_4 – a_5 ) – \cdots – ( a_{2n-2} – a_{2n-1} ) – a_{2n} < a_1
\end{gather*}

이므로 위로 유계입니다. 따라서 단조수렴정리에 의하여

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} S_{2n}
\end{gather*}

은 수렴합니다.

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} S_{2n-1} = \lim_{n \to \infty} ( S_{2n} – a_{2n} ) = \lim_{n \to \infty} S_{2n} \ \ (\because \ \lim_{n \to \infty} a_n = 0)
\end{gather*}

이므로 $ \lim_{n \to \infty} S_{n} $은 수렴합니다.

예를 들어

\begin{gather*}
1 – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + \frac{1}{5} – \frac{1}{6} + \cdots
\end{gather*}

와 같은 교대급수가 있을 때, $ a_n = \dfrac{1}{n} $이라 하면

\begin{gather*}
a_n > a_{n+1}, \ \ \lim_{n \to \infty} a_n = 0
\end{gather*}

이므로 수렴합니다.