삼각함수로 치환하는 정적분

삼각함수로 치환하는 정적분

$ \sqrt{a^2 – x^2} $, $ \dfrac{1}{\sqrt{a^2 – x^2}} $의 꼴일 때

\begin{gather*}
x = a \sin \theta \ \ \left( – \dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} \right)
\end{gather*}

로 치환한 후 $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $을 이용한다.

$ \sqrt{x^2 + a^2} $, $ \dfrac{1}{x^2 + a^2} $의 꼴일 때

\begin{gather*}
x = a \tan \theta \ \ \left( – \dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right)
\end{gather*}

로 치환한 후 $ \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta $를 이용한다.

다음 정적분의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\int_{0}^{2} \sqrt{4 – x^2} dx
\end{gather*}

$ x = 2 \sin \theta \ \left( – \dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} \right) $라 하면 $ x=0 $일 때 $ \theta = 0 $, $ x=2 $일 때 $ \theta = \dfrac{\pi}{2} $이고, 양변을 $ x $로 미분하면

\begin{gather*}
1 = 2 \cos \theta \dfrac{d \theta}{dx} \ \ \ \therefore \ \ dx = 2 \cos \theta d \theta
\end{gather*}

따라서

\begin{align*}
\int_{0}^{2} \sqrt{4 – x^2} dx &= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{4 – 4 \sin^2 \theta} \cdot 2 \cos \theta d\theta \\
&= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \sqrt{4 \cos^2 \theta} \cdot 2 \cos \theta d\theta \\
&= \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} 4 \cos^2 \theta d\theta \\
&= 2 \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} (1 + \cos 2\theta ) d\theta \\
&= 2 \left[ \theta + \dfrac{1}{2} \sin 2 \theta \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \pi
\end{align*}

다음 정적분의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}} dx
\end{gather*}

$ x = \sin \theta \ \left( – \dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2} \right) $라 하면 $ x=0 $일 때 $ \theta = 0 $, $ x=\dfrac{\sqrt{3}}{2} $일 때 $ \theta = \dfrac{\pi}{3} $이고, 양변을 $ x $로 미분하면

\begin{gather*}
1 = \cos \theta \dfrac{d \theta}{dx} \ \ \ \therefore \ \ dx = \cos \theta d \theta
\end{gather*}

따라서

\begin{align*}
\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\sqrt{1 – \sin^2 \theta}} \cdot \cos \theta d\theta \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \dfrac{1}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d\theta \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \Big[ \theta \Big]_{0}^{\dfrac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{3}
\end{align*}

다음 정적분의 값을 구하여라.

\begin{gather*}
\int_{0}^{2} \dfrac{1}{x^2 + 4} dx
\end{gather*}

$ x = 2 \tan \theta \ \left( – \dfrac{\pi}{2} < \theta < \dfrac{\pi}{2} \right) $라 하면 $ x=0 $일 때 $ \theta = 0 $, $ x=2 $일 때 $ \theta = \dfrac{\pi}{4} $이고, 양변을 $ x $로 미분하면

\begin{gather*}
1 = 2 \sec^2 \theta \dfrac{d \theta}{dx} \ \ \ \therefore \ \ dx = 2 \sec^2 \theta d\theta
\end{gather*}

따라서

\begin{align*}
\int_{0}^{2} \dfrac{1}{x^2 + 4} dx &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{2\sec^2 \theta}{4 \tan^2 \theta + 4} dx \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{2\sec^2 \theta}{4 \sec^2 \theta} dx \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{2} d\theta \\
&= \left[ \dfrac{1}{2} \theta \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \dfrac{\pi}{8}
\end{align*}