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정적분과 급수의 관계

⑴ $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{b-a}{n}k \right) \dfrac{b-a}{n} = \int_{a}^{b} f(x) dx $

⑵ $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{p}{n} = \int_{a}^{a+p} f(x) dx $

⑶ $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{p}{n} = \int_{0}^{p} f(a+x) dx $

⑷ $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( \dfrac{k}{n} \right) \dfrac{1}{n} = \int_{0}^{1} f(x) dx $

⑸ $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{1}{n} = \int_{0}^{1} f(a+px) dx $

⑴ 공식

정적분의 정의는 다음과 같습니다.

\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{b-a}{n} k \right) \dfrac{b-a}{n}
\end{gather*}

정적분의 값을 정적분의 정의를 이용하여 구하라고 하면 정적분을 급수로 바꾸어서 계산합니다. 즉, 좌변을 우변으로 바꾸어서 풀라는 뜻입니다.

⑴ 공식은 단순히 정적분의 정의의 좌우를 바꾼 것입니다.

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{b-a}{n}k \right) \dfrac{b-a}{n} = \int_{a}^{b} f(x) dx
\end{gather*}

좌변을 우변으로 바꾸어서 풀라는 것으로, 급수가 주어졌을 때 정적분으로 바꿔서 쉽게 계산하라는 뜻입니다.

⑵ 공식

⑴ 공식에서 $ b-a = p $로 치환하면 $ b = a+p $이므로, $ b $ 대신에 $ a+p $를 대입한 것이 ⑵ 공식입니다. 즉 ⑴ 공식과 ⑵ 공식은 같은 공식입니다.

⑶ 공식

적분구간이 $ [a, \ a+p] $, 피적분함수가 $ f(x) $일 때, $ x $축의 방향으로 $ -a $만큼 평행이동하면 적분구간은 $ [0, \ p] $, 피적분함수는 $ f(x+a) $되므로

\begin{gather*}
\int_{a}^{a+p} f(x) dx = \int_{0}^{p} f(a+x) dx
\end{gather*}

가 성립합니다. 따라서

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{p}{n}
\end{gather*}

가 주어졌을 때, 적분구간은 $ [0, \ p] $로 하고, $ \dfrac{p}{n}k $를 $ x $로, $ \dfrac{p}{n} $은 $ dx $로 바꿉니다.

⑷ 공식

⑵ 공식에서 $ a=0 $, $ p=1 $을 대입하면 ⑷ 공식이 만들어집니다.

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( 0 + \dfrac{1}{n}k \right) \dfrac{1}{n} = \int_{0}^{0+1} f(x) dx = \int_{0}^{1} f(x) dx
\end{gather*}

즉, 적분구간은 $ [0, \ 1] $로 하고, $ \dfrac{k}{n} $는 $ x $로, $ \dfrac{1}{n} $은 $ dx $로 바꿉니다.

 

⑸ 공식

⑸ 공식은 ⑶ 공식에서 유도합니다.

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{p}{n} = \int_{0}^{p} f(a+x) dx
\end{gather*}

$ x = pt $로 지환하면 $ x=p $일 때 $ t=1 $, $ x=0 $일 때 $ t=0 $이고 양변을 $ t $로 미분하면

\begin{gather*}
\dfrac{dx}{dt} = p \ \ \ \therefore \ \ dx = p dt
\end{gather*}

입니다. 따라서

\begin{gather*}
\int_{0}^{p} f(a+x) dx = p \int_{0}^{1} f( a + pt ) dt = p \int_{0}^{1} f( a + px ) dx
\end{gather*}

이므로

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{p}{n} = p \int_{0}^{1} f( a + px ) dx
\end{gather*}

양변을 $ p $로 나누면

\begin{gather*}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} f \left( a + \dfrac{p}{n}k \right) \dfrac{1}{n} = \int_{0}^{1} f(a+px) dx
\end{gather*}

가 됩니다.

즉, 적분구간은 $ [0, \ 1] $로 하고, $ \dfrac{k}{n} $는 $ x $로, $ \dfrac{1}{n} $은 $ dx $로 바꾸는 것으로, ⑷ 공식과 방법이 같습니다.

어떤 걸 사용할 것인가?

주로 사용하게 되는 공식은 ⑵ 공식과 ⑷ 공식입니다.

정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하여라.

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \left( 1 + \dfrac{2}{n}k \right)^3 \dfrac{2}{n}
\end{gather*}

⑵ 공식을 이용하면

\begin{gather*}
\int_{1}^{3} x^3 dx = \left[ \dfrac{1}{4} x^4 \right]_{1}^{3} = 20
\end{gather*}

⑷ 공식을 이용하면

\begin{gather*}
2 \int_{0}^{1} (1 + 2x)^3 dx = 2 \left[ \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4} (1 + 2x)^4 \right]_{0}^{1} = 20
\end{gather*}

이과에서는 보통 ⑷ 공식으로 답을 구합니다. 적분으로 바꾸는 것이 쉽기 때문입니다.

정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하여라.

\begin{gather*}
\lim_{n \to \infty} \dfrac{3}{n} \sum_{k=1}^{n} \dfrac{2k}{n} e^{\left( \frac{k}{n} \right)^2}
\end{gather*}

$ \displaystyle 3 \int_{0}^{1} 2x e^{x^2} dx = 3 \left[ e^{x^2} \right]_{0}^{1} = 3 (e-1) $