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역함수의 미분법

미분가능한 함수 $ f(x) $의 역함수 $ f^{-1} (x) $가 존재하고 미분가능할 때, $ y = f^{-1} (x) $의 도함수는

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} \ \ \textrm{또는} \ \ ( f^{-1} )'(x) = \frac{1}{f'(y)}
\end{gather*}

함수 $ y = \sqrt{x} $의 도함수를 구하려고 합니다. 그런데, 근호가 있어서 미분이 어렵습니다. 그래서 양변을 제곱한 후 $ x $를 $ y $에 관하여 표현합니다.

\begin{gather*}
x = y^2
\end{gather*}

이제 양변을 $ y $에 대하여 미분합니다.

\begin{gather*}
\frac{dx}{dy} = 2y
\end{gather*}

하지만 실제로 구하려고 하는 것은 $ \dfrac{dy}{dx} $이고, $ \dfrac{dy}{dx} $는 $ \dfrac{dx}{dy} $의 역수이므로

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{2y}
\end{gather*}

입니다. $ y = \sqrt{x} $이므로 이를 대입하면

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
\end{gather*}

가 됩니다.

즉, $ x $에서 $ y $로의 함수가 아니라, $ y $에서 $ x $로의 함수로 보고 미분한 후 역수를 취하여 도함수를 구하는 것입니다.

함수 $ y = \sqrt[3]{x+1} $에서 $ \dfrac{dy}{dx} $를 구하여라.

양변을 세제곱한 후 정리하면

\begin{gather*}
x = y^3 – 1
\end{gather*}

양변을 $ y $에 대하여 미분하면

\begin{gather*}
\frac{dx}{dy} = 3 y^2 = 3(\sqrt[3]{x+1})^2
\end{gather*}

따라서

\begin{gather*}
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{3(\sqrt[3]{x+1})^2}
\end{gather*}

함수 $ f(x) $의 역함수의 도함수 $ (f^{-1})'(x) $를 구하려고 합니다. 역함수를 구한 후 미분해도 되지만, 역함수를 구하는 게 번거로우므로 다른 방식으로 합니다.

$ y = f^{-1}(x) $로 놓으면

\begin{gather*}
x = f(y)
\end{gather*}

입니다. 양변을 $ y $에 대하여 미분하면

\begin{gather*}
\frac{dx}{dy} = f'(y)
\end{gather*}

이므로

\begin{gather*}
(f^{-1})'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{f'(y)}
\end{gather*}

이 됩니다.

 

함수 $ f(x) = x^3 + x $의 역함수의 도함수 $ (f^{-1})'(x) $를 구하여라.

$ y = f^{-1}(x) $로 놓으면 $ x = f(y) $이므로

\begin{gather*}
x = y^3 + y
\end{gather*}

이고, 양변을 $ y $에 대하여 미분하면

\begin{gather*}
\frac{dx}{dy} = 3y^2 + 1
\end{gather*}

이므로

\begin{gather*}
(f^{-1})'(x) = \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\dfrac{dx}{dy}} = \frac{1}{3y^2 + 1}
\end{gather*}

$ \boldsymbol{ (f^{-1})'(p) } $를 구하는 순서

  1. $ f(a) = p $를 만족하는 $ a $를 구한다.
  2. $ f'(a) $를 구한다.
  3. $ f'(a) $의 역수를 구한다.

함수 $ f(x) = x^3 + x + 1 $일 때, $ (f^{-1})'(3) $의 값을 구하여라.

$ f^{-1}(3) = a $라 하면 $ f(a) = 3 $이므로

\begin{gather*}
a^3 + a + 1 = 3 \ \ \ \therefore \ \ a = 1
\end{gather*}

$ f'(x) = 3x^2 + 1 $이므로 $ f'(1) = 4 $

\begin{gather*}
(f^{-1})'(3) = \frac{1}{f'(1)} = \frac{1}{4}
\end{gather*}