수학 강좌 | 고등학교 > 명제 > 산술평균과 기하평균의 관계

산술평균

산술평균

$ n $개의 수 $ a_1 $, $ a_2 $, $ \cdots $, $ a_n $의 산술평균 $ A $는

\begin{gather*}
A = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}
\end{gather*}

수학 시험에서 $ 100 $점, 영어 시험에서 $ 80 $점 맞았을 때, 두 과목 점수의 평균은 다음과 같이 계산합니다.

\begin{gather*}
\frac{100+80}{2} = 90
\end{gather*}

국어 시험에서 $ 90 $점 맞았다면 세 과목의 점수의 평균은 다음과 같이 계산합니다.

\begin{gather*}
\frac{100+80+90}{3} = 90
\end{gather*}

이처럼 $ n $개의 수에 대하여, 이들 수의 합을 $ n $으로 나눈 것을 산술평균(arithmetic mean)이라고 합니다.

기하평균

기하평균

$ n $개의 양수 $ a_1 $, $ a_2 $, $ \cdots $, $ a_n $의 기하평균 $ G $는

\begin{gather*}
G = \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times \cdots \times a_n }
\end{gather*}

가로의 길이가 $ 9 $, 세로의 길이가 $ 4 $인 직사각형과 같은 넓이를 가지는 정사각형의 한 변의 길이를 $ x $라 하면, 다음과 같이 $ x $를 구할 수 있습니다.

\begin{gather*}
x^2 = 9 \times 4 \ \ \therefore \ x = \sqrt{9 \times 4} = 6
\end{gather*}

가로의 길이가 $ 9 $, 세로의 길이가 $ 4 $, 높이가 $ 6 $인 직육면체의 부피와 같은 부피를 가지는 정육면체의 한변의 길이를 $ x $라 하면, 다음과 같이 $ x $를 구할 수 있습니다.

\begin{gather*}
x^3 = 9 \times 4 \times 6 \ \ \therefore \ x = \sqrt[3]{9 \times 4 \times 6} = 6
\end{gather*}

이처럼 $ n $개의 양수에 대하여, 이들 수의 곱의 $ n $제곱근 중 양수를 기하평균(geometric mean)이라고 합니다.

산술평균과 기하평균의 관계

산술평균과 기하평균의 관계

두 양수 $ a $, $ b $에 대하여

$ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $  (단, $ a=b $일 때 등호 성립)

두 양수 $ a $, $ b $의 산술평균에서 기하평균을 빼면

\begin{align*}
\frac{a+b}{2} – \sqrt{ab} = \frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2} = \frac{( \sqrt{a} – \sqrt{b} )^2}{2} \geq 0
\end{align*}

이므로

$ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} $  (단, $ a=b $일 때 등호 성립)

가 성립합니다.

두 수의 합 또는 곱이 주어지고 최솟값 또는 최댓값을 구하는 문제가 나오면 산술평균과 기하평균의 관계를 떠올릴 수 있어야 합니다.

 

두 양수 $ a $, $ b $에 대하여 $ ab = 16 $일 때 $ a+b $의 최솟값을 구하여라.

$ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} = 4 \ \ \ \therefore \ \ a + b \geq 8 $

따라서 최솟값은 $ 8 $이다.

두 양수 $ a $, $ b $에 대하여 $ a+b = 4 $일 때 $ ab $의 최댓값을 구하여라.

$ \dfrac{a+b}{2} = 2 \geq \sqrt{ab} \ \ \ \therefore \ \ ab \leq 4 $

따라서 최댓값은 $ 4 $이다.

산술평균과 기하평균의 관계의 변형

산술평균과 기하평균의 관계의 변형 1

두 양수 $ a $, $ b $에 대하여

$ a+b \geq 2 \sqrt{ab} $  (단, $ a=b $일 때 등호 성립)

원래의 부등식을 사용하는 것보다는 변형된 식을 사용하는 것이 계산할 때 좀 더 편합니다.

산술평균과 기하평균의 관계의 변형 2

양수 $ a $에 대하여

$ a + \dfrac{1}{a} \geq 2 $  (단, $ a= \dfrac{1}{a} $일 때 등호 성립)

역수 관계인 두 수의 합의 최솟값은 산술평균과 기하평균의 관계로 구할 수 있습니다.

양수 $ a $에 대하여 $ a + \dfrac{4}{a} $의 최솟값을 구하여라.

$ a + \dfrac{4}{a} \geq 2 \sqrt{ a \times \dfrac{4}{a} } = 4 $

따라서 최솟값은 $ 4 $이다.