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로피탈의 정리(L'Hopital's Theorem)
로피탈의 정리
두 함수 $ f(x) $, $ g(x) $가 $ x=a $에서 미분가능하고
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow a} f(x)=0, \ \ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=0, \ \ g'(a) \neq 0
\end{gather*}
이면
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)}
\end{gather*}
이 성립한다.
원래 모양 그대로로 극한을 구하기 힘든 경우, 분자와 분모를 각각 미분해서 극한을 구할 수 있다는 뜻입니다.
다음의 극한값을 구하여라.
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x-1}
\end{gather*}
$ f(x) = x^2-1 $, $ g(x) = x-1 $이라고 할 때 $ f(x) $, $ g(x) $는 모든 실수에서 미분가능하고
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow 1} f(x)=0, \ \ \lim_{x \rightarrow 1} g(x)=0, \ \ g'(1) \neq 0
\end{gather*}
이다. 따라서
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^2 - 1)'}{(x-1)'} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{1} = 2
\end{gather*}
로피탈 정리는
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow a} f(x) = \infty , \ \ \lim_{x \rightarrow a} g(x) = \infty \\
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = 0 , \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = 0 \\
\lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = \infty , \ \ \lim_{x \rightarrow \infty} g(x) = \infty
\end{gather*}
일 때에도 성립합니다.
주의할 점
조건을 만족하는 지 확인한다
로피탈의 정리를 사용할 수 있는 조건을 만족하는지 확인해야 합니다. 예를 들어
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{(x^2 - 1)'}{(x)'} = \lim_{x \rightarrow 1} \frac{2x}{1} = 2
\end{gather*}
처럼 풀면 안됩니다. 분모에서 $ x $에 $ 1 $을 대입했을 때 $ 0 $이 아니기 때문입니다. 정확한 극한은
\begin{gather*}
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^2 - 1}{x} = \frac{1^2 - 1}{1} = 0
\end{gather*}
입니다.
서술형 문제에서는 사용하면 안된다
로피탈 정리는 고등학교 수학 과정이 아닙니다. 따라서 서술형 문제에서 사용하면 감점을 받을 수 있습니다.
