수학 공식 | 고등학교 > 정적분의 뜻과 성질
정적분
- 함수 $ f(x) $의 어떤 부정적분 $ F(x) $에서도 $ F(b)-F(a) $의 값은 하나로 결정된다. 이 값을 함수 $ f(x) $의 $ a $에서 $ b $까지의 정적분이라 하고, 기호로
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx
\end{gather*}와 같이 나타낸다. 이때, $ a $를 아래끝, $ b $를 위끝, 구간 $ [a, \ b] $를 적분구간이라 하고, 정적분의 값을 구하는 것을 함수 $ f(x) $를 $ a $에서 $ b $까지 적분한다고 한다. - 이때 정적분의 값 $ F(b)-F(a) $를 기호로
\begin{gather*}
\Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b}
\end{gather*}와 같이 나타낸다. 즉
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = \Bigl[ F(x) \Bigr]_{a}^{b} = F(b) - F(a)
\end{gather*}
- $ a=b $일 때
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = 0
\end{gather*}$ a>b $일 때
\begin{gather*}
\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx
\end{gather*}로 정의한다.
정적분의 성질
- $ \displaystyle \int_{a}^{b} kf(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx \ \ (\textrm{단, } k \textrm{는 상수}) $
- $ \displaystyle \int_{a}^{b} \left\{ f(x) + g(x) \right\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx $
- $ \displaystyle \int_{a}^{b} \left\{ f(x) - g(x) \right\} dx = \int_{a}^{b} f(x) dx - \int_{a}^{b} g(x) dx $
- $ \displaystyle \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(x) dx $
- $ f(-x) = f(x) $일 때, $ \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx $
- $ f(-x) = - f(x) $일 때, $ \displaystyle \int_{-a}^{a} f(x) dx = 0 $
$ \displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)^3 dx - \int_{0}^{1} (x-1)^3 dx $의 값을 구하여라.
$ \displaystyle \int_{0}^{1} \left\{ (x+1)^3 - (x-1)^3 \right\} dx = \int_{0}^{1} (6x^2 +2) dx = 4 $
$ \displaystyle \int_{0}^{2} (3x^2 - 2x) dx + \int_{2}^{4} (3x^2 - 2x) dx $의 값을 구하여라.
$ \displaystyle \int_{0}^{4} (3x^2 - 2x) dx = \Big[ x^3 - x^2 \Big]_{0}^{4} = 48 $
$ \displaystyle \int_{-1}^{1} (2x^7+5x^5-x^3+3x^2+x+2) $의 값을 구하여라.
$ \displaystyle 2 \int_{0}^{1} (3x^2 + 2) dx = 2 \Big[ x^3 + 2x \Big]_{0}^{1} = 6 $
적분과 미분의 관계
함수 $ f(t) $가 구간 $ [a, \ b] $에서 연속일 때
\begin{gather*}
\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x) \ \ (\textrm{단, } a < x < b)
\end{gather*}
$ \displaystyle f(x) = \int_{1}^{x} ( t^3 - 2t + 1 ) dt $일 때 $ f'(2) $의 값을 구하여라.
적분과 미분의 관계에 의하여
\begin{gather*}
f'(x) = \frac{d}{dx} \int_{1}^{x} ( t^3 - 2t + 1 ) dt = x^3 - 2x + 1
\end{gather*}
이다. 따라서
\begin{gather*}
f'(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 1 = 5
\end{gather*}
