수학 강좌 | 고등학교 > 여러 가지 적분법 > 치환적분법

합성함수 $ f(g(x)) $의 도함수는 다음과 같아요.

\begin{gather*}
\left\{ f(g(x)) \right\}’ = f'(g(x)) g'(x)
\end{gather*}

$ f(g(x)) $를 미분하면 $ f'(g(x)) g'(x) $가 되므로, $ f(g(x)) $는 $ f'(g(x)) g'(x) $의 부정적분입니다.

\begin{gather*}
\int f'(g(x)) g'(x) \ dx = f(g(x)) + C
\end{gather*}

그런데, 피적분함수에서 $ f $에 프라임이 붙은게 예쁘지 않으니까 약간 변형을 해요. $ F'(x) = f(x) $라고 가정하면

\begin{gather*}
\left\{ F(g(x)) \right\}’ = f(g(x)) g'(x)
\end{gather*}

가 되고, $ f(g(x)) g'(x) $의 부정적분이 $ F(g(x)) $가 돼요.

\begin{gather*}
\int f(g(x)) g'(x) \ dx = F(g(x)) + C
\end{gather*}

즉, 피적분함수가 합성함수를 미분한 것이라면 적분을 할 수 있어요. 예를 들어

\begin{gather*}
\left\{ ( x^2 + 2 )^3 \right\}’ = 3(x^2 + 2)^2 \cdot 2x
\end{gather*}

이므로

\begin{gather*}
\int 3(x^2 + 2)^2 \cdot 2x \ dx = ( x^2 + 2 )^3 + C
\end{gather*}

이 됩니다.

그런데, 피적분함수가 복잡해지면 어떤 합성함수를 미분한 건지 찾기 어려워요. 그래서 치환을 합니다.

\begin{gather*}
\int f(g(x)) g'(x) \ dx = F(g(x)) + C
\end{gather*}

에서 $ g(x) = t $로 치환하고 양변을 $ x $로 미분하면

\begin{gather*}
g'(x) = \frac{dt}{dx} \ \ \therefore \ g'(x) dx = dt
\end{gather*}

가 되고, 이를 대입하면

\begin{gather*}
\int f(g(x)) g'(x) \ dx = \int f(t) \ dt
\end{gather*}

$ F'(t) = f(t) $이니까

\begin{gather*}
\int f(t) \ dt = F(t) + C
\end{gather*}

가 되고, 다시 $ t $에 $ g(x) $를 넣으면

\begin{gather*}
F(t) + C = F(g(x)) + C
\end{gather*}

위 내용을 한 줄로 나타내면 다음과 같아요.

\begin{gather*}
\int f(g(x)) g'(x) \ dx = \int f(t) \ dt = F(t) + C = F(g(x)) + C
\end{gather*}

이러한 적분법을 치환적분법이라고 합니다. 좀 복잡해보이지만, 몇 문제 풀어보면 쉽게 이해할 수 있어요.

치환적분법

$ F'(x) = f(x) $일 때

\begin{gather*}
\int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C
\end{gather*}

다음 부정적분을 구하여라.

\begin{gather*}
\int 3 \sin^2 x \cos x dx
\end{gather*}

$ \sin x $의 도함수 $ \cos x $가 곱해져있으므로 $ \sin x = t $로 치환합니다. 양변을 $ x $로 미분하면

\begin{gather*}
\cos x = \frac{dt}{dx} \ \ \ \therefore \ \ \cos x dx = dt \\
\int 3 \sin^2 x \cos x dx = \int 3t^2 dt = t^3 + C = \sin^3 x + C
\end{gather*}