수학 공식 | 고등학교 > 조건부확률과 사건의 독립과 종속
조건부확률
확률이 $ 0 $이 아닌 사건 $ {A} $가 일어났을 때 사건 $ {B} $가 일어날 확률을 사건 $ {A} $가 일어났을 때의 사건 $ {B} $의 조건부확률이라 하고
\begin{gather*}
\mathrm{P}(B|A)
\end{gather*}
와 같이 나타낸다.
조건부확률의 계산
$ \mathrm{P}(B|A) = \dfrac{\mathrm{P}({A} \cap {B})}{\mathrm{P}(A)} \ \ (\textrm{단}, \ \mathrm{P}(A) \neq 0) $
한 개의 주사위를 던져서 홀수의 눈이 나왔을 때, 그것이 소수일 확률을 구하여라.
홀수의 눈이 나오는 사건을 $ A $, 소수의 눈이 나오는 사건을 $ B $라 하면
\begin{gather*}
\mathrm{P}(A) = \frac{3}{6}, \ \mathrm{P}(A \cap B) = \frac{2}{6} \ \ \ \therefore \ \ \mathrm{P}(B|A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)} = \frac{2}{3}
\end{gather*}
독립사건과 종속사건
- 사건 $ {A} $가 일어나는 여부가 사건 $ {B} $가 일어날 확률에 영향을 미치지 않을 때, 즉,
\begin{align*}
\mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B|A^c) = \mathrm{P}(B)
\end{align*}일 때 사건 $ {A} $와 $ {B} $는 서로 독립이라고 한다. - 사건 $ {A} $가 일어나는 여부가 사건 $ {B} $가 일어날 확률에 영향을 미칠 때, 즉,
\begin{align*}
\mathrm{P}(B|A) \neq \mathrm{P}(B|A^c)
\end{align*}일 때 사건 $ {A} $와 $ {B} $는 서로 종속이라고 한다.
두 사건이 서로 독립일 조건
두 사건 $ {A} $와 $ {B} $가 서로 독립이기 위한 필요충분조건은
\begin{align*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)
\end{align*}
단, $ \mathrm{P}(A) > 0 $, $ \mathrm{P}(B) > 0 $
- 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립이면 $ \mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(B) $이므로
\begin{gather*}
\mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B|A) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)
\end{gather*}$ \mathrm{P}({A} \cap {B}) = \mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B) $이면
\begin{gather*}
\mathrm{P}(B|A) = \frac{\mathrm{P}(A) \mathrm{P}(B)}{\mathrm{P}(A)} = \mathrm{P}(B)
\end{gather*}이므로 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립이다. - 두 사건 $ A $와 $ B $가 서로 독립이면, $ A $와 $ B^c $, $ A^c $와 $ B $, $ A^c $와 $ B^c $ 모두 서로 독립이다.
2018/06/25 17:26수학 공식
