수학 공식 | 고등학교 > 등비수열과 등비수열의 합
등비수열
첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하여 만든 수열을 등비수열이라고 한다. 이때 곱하는 일정한 수를 공비라고 한다.
등비수열의 일반항
첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비수열의 일반항 $ a_n $은
\begin{gather*}
a_n = ar^{n-1}
\end{gather*}
등비수열의 항과 항 사이의 관계
첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비수열 $ \{ a_n \} $은 다음의 관계식이 성립한다.
- $ a_{n+1} = a_n \cdot r $
- $ {a_{n+1}}^2 = a_n a_{n+2} $
- $ a_{n+1} = ar^n $, $ a_n = ar^{n-1} $이므로 $ a_{n+1} = a_n \cdot r $
- $ a_n a_{n+2} = ar^{n-1} ar^{n+1} = (ar^n)^2 = {a_{n+1}}^2 $
등비중항
세 수 $ a $, $ b $, $ c $가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때
\begin{gather*}
b^2 = ac
\end{gather*}
이고, $ b $를 $ a $와 $ c $의 등비중항이라 한다.
세 수 $ 2 $, $ x $, $ 8 $이 이 순서대로 등비수열을 이루도록 하는 $ x $의 값을 구하여라.
$ x^2 = 2 \times 8 = 16 \ \ \ \therefore \ \ x = \pm 4 $
등비수열의 합
첫째항이 $ a $, 공비가 $ r $인 등비수열의 첫째항부터 제$ n $항까지의 합을 $ S_n $이라 하면
- $ r \neq 1 $일 때, $ S_n = \dfrac{a(1-r^n)}{1-r} = \dfrac{a(r^n-1)}{r-1} $
- $ r = 1 $일 때, $ S_n = an $
⑴의 증명
\begin{align*}
S_n &= a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{n-2} + ar^{n-1} \\
r S_n &= ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{n-1} + ar^n
\end{align*}
변변 빼면
\begin{align*}
(1-r) S_n = a - ar^n = a (1-r^n) \ \ \ \therefore \ \ S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}
\end{align*}
⑵의 증명
$ r=1 $이면 모든 항이 $ a $이므로
$ S_n = a + a + a + \cdots + a = an $
원리합계
원금에 이자를 합한 금액을 원리합계라 한다.
- 단리법
원금에 대해서만 이자를 더하여 원리합계를 계산하는 방법
원금 $ a $를 연이율 $ r $로 $ n $년 동안 단리로 예금할 때의 원리합계 $ S $는
\begin{gather*}
S=a(1+rn)
\end{gather*} - 복리법
원금에 이자를 더한 원리합계를 다음 기간의 원금으로 하여 원리합계를 계산하는 방법
원금 $ a $를 연이율 $ r $로 $ n $년 동안 $ 1 $년마다의 복리로 예금할 때의 원리합계 $ S $는
\begin{gather*}
S=a(1+r)^n
\end{gather*}
적금
연이율이 $ r $이고 $ 1 $년마다의 복리로 일정한 금액 $ a $를 매년 초에 $ n $년 동안 적립할 때, $ n $년 말의 적립금의 원리합계 $ S $는
\begin{gather*}
S = \frac{a(1+r) \left\{ (1+r)^n -1 \right\} }{r}
\end{gather*}
$ 1 $년 초 $ a $의 $ n $년 말 원리합계 : $ a(1+r)^n $
$ 2 $년 초 $ a $의 $ n $년 말 원리합계 : $ a(1+r)^{n-1} $
$ \ \ \vdots $
$ n $년 초 $ a $의 $ n $년 말 원리합계 : $ a(1+r) $
다 더하면
\begin{gather*}
a(1+r) + a(1+r)^2 + \cdots + a(1+r)^n \\
= \frac{a(1+r) \left\{ (1+r)^n -1 \right\} }{r}
\end{gather*}
원리금균등분할상환
$ x $를 대출한 후 연이율이 $ r $, $ 1 $년마다의 복리로 매년 말에 일정한 금액 $ a $를 $ n $년 동안 상환할 때
- 상환금액의 $ n $년 말의 가치는 $ \dfrac{ a \left\{ (1+r)^n -1 \right\} }{r} $
- 대출금액 $ x $의 $ n $년 말의 가치는 $ x (1+r)^n $
- 매년 말 상환하는 금액 $ a $는 다음 등식으로 구한다.
\begin{gather*}
\frac{ a \left\{ (1+r)^n -1 \right\} }{r} = x (1+r)^n
\end{gather*}
- $ 1 $년 말 $ a $의 $ n $년 말 원리합계 : $ a(1+r)^{n-1} $
$ 2 $년 말 $ a $의 $ n $년 말 원리합계 : $ a(1+r)^{n-2} $
$ \ \ \vdots $
$ n $년 말 $ a $의 $ n $년 말 원리합계 : $ a $
다 더하면
\begin{gather*}
a + a(1+r) + \cdots + a(1+r)^{n-1} = \frac{a \left\{ (1+r)^n -1 \right\} }{r}
\end{gather*}
잡동사니 - 등비수열의 합의 특징 1
- 등비수열의 제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합 $ S_n $은
\begin{gather*}
S_n = A r^n - A
\end{gather*}의 꼴로 나타낼 수 있다. - $ n=0 $을 대입하면 $ 0 $이 된다.
- 공비는 $ r $, 첫째항은 $ n=1 $을 대입한 $ Ar-A $이다.
수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합 $ S_n $이
\begin{gather*}
S_n = 2 \times 3^n + p
\end{gather*}
이다. 수열 $ \left\{ a_n \right\} $이 첫째항부터 등비수열이 되기 위한 $ p $의 값을 구하여라.
$ n = 0 $을 대입했을 때 $ S_n $이 $ 0 $이 되어야 하므로
$ 2 \times 3^0 + p = 0 \ \ \ \therefore \ \ p = -2 $
수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합 $ S_n $이
\begin{gather*}
S_n = 3 \times 2^n - 3
\end{gather*}
이다. 수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 일반항 $ a_n $을 구하여라.
$ S_n = Ar^n - A $의 꼴이므로 수열 $ \left\{ a_n \right\} $은 첫째항부터 등비수열이다.
공비는 $ 2 $, 첫째항은 $ 3 \times 2 - 3 = 3 $이므로
$ a_n = 3 \times 2^{n-1} $
잡동사니 - 등비수열의 합의 특징 2
공비가 $ r $인 등비수열의 제$ 1 $항부터 제$ n $항까지의 합을 $ S_n $이라 할 때
\begin{gather*}
S_n , \ \ S_{2n} - S_n, \ \ S_{3n} - S_{2n}, \ \ S_{4n} - S_{3n}, \ \ \cdots
\end{gather*}
은 공비가 $ r^n $인 등비수열이다.
각 항이 실수인 등비수열 $ \left\{ a_n \right\} $의 제$ 1 $항부터 제$ 10 $항까지의 합이 $ 2 $, 제$ 11 $항부터 제$ 20 $항까지의 합이 $ 12 $일 때, 제$ 21 $항부터 제$ 30 $항까지의 합을 구하여라.
제$ 1 $항부터 제$ 10 $항까지의 합, 제$ 11 $항부터 제$ 20 $항까지의 합, 제$ 21 $항부터 제$ 30 $항까지의 합은 등비수열이다. 공비를 $ r $이라 하면
\begin{gather*}
2r = 12 \ \ \ \therefore \ \ r = 6
\end{gather*}
따라서 제$ 21 $항부터 제$ 30 $항까지의 합은
\begin{gather*}
12 \times 6 = 72
\end{gather*}
